TD DU 20/01/2012
Exercice 1 . Soit Q une forme quadratique d´ efinie positive sur R
n, de matrice A = (a
ij). On d´ efinit
q(x
1, . . . , x
n−1) = X
16i,j6n−1
(a
nna
ij− a
nia
nj)x
ix
j. Montrer que q est une forme quadratique d´ efinie positive sur R
n−1.
Exercice 2 . Soit C un endomorphisme d’un espace euclidien E.
Montrer l’´ equivalence des propositions suivantes :
(i) Il existe y ∈ S
+(E) d´ efini positif tel que y − CyC
∗> 0.
(ii) C
n→ 0 quand n → +∞.
1
2 TD DU 20/01/2012
Solution 1 Soit (e
1, . . . , e
n) la base canonique de R
n, on pose x = x
1e
1+ · · · + x
n−1e
n−1alors, comme Q(e
n) = a
nn> 0, Q(x) = P
16i,j6n−1
a
ijx
ix
jet B(e
n, x) =
n−1
P
i=1
a
nix
i, on a q(x
1, . . . , x
n−1) = a
nnX
16i,j6n−1
a
ijx
ix
j− X
16i,j6n−1
a
nix
ia
njx
j= Q(e
n)Q(x) − B (e
n, x)
2> 0 grˆ ace ` a l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz.
Si q(x
1, . . . , x
n−1) = 0 alors on sait que la famille (x, e
n) est li´ ee (cas d’´ egalit´ e dans Cauchy- Schwarz) ce qui entraˆıne x = 0.
Solution 2
(ii) ⇒ (i) Lemme : Si a est un endomorphisme d’un espace vectoriel F de dimension finie, alors a
n→ 0 ⇔ P
a
nconverge.
D´ em : Soit S
N=
N
P
n=0
a
nalors (I − a)S
N= I − a
N+1→ I et comme 1 n’est pas valeur propre de a (sinon a
nne pourrait tendre vers 0), I − a est inversible. Par continuit´ e du produit dans l’alg` ebre L(F ), on en d´ eduit que
N
P
n=0
a
n→ (I − a)
−1.
On applique ce r´ esultat ` a a(x) = CxC
∗endomorphisme de F = S (E ) : En effet
• a
n(x) = C
nx(C
∗)
n(imm´ ediat par r´ ecurrence, ne pas oublier que a
nest le compos´ e n-i` eme de a),
• ka
n(x)k 6 kC
nk.kxk.k(C
∗)
nk, comme (C
∗)
n= (C
n)
∗(imm´ ediat si on prend les matrices) donc a
n(x) → 0 pour tout x de F et par cons´ equent a
n→ 0.
Si x ∈ S (E) est d´ efini positif alors (I − a)
−1(x) = y =
+∞
P
n=0
a
n(x) est aussi d´ efini positif car
(y(v)|v) = (x(v)|v) +
+∞
X
n=1
(C
nx(C
∗)
n(v)|v)
= (x(v)|v)
| {z }
>0
+
+∞
X
n=1
(x(C
∗)
n(v )|(C
∗)
n(v))
| {z }
>0
> 0
pour v 6= 0).
On a aussi y − CyC
∗=
+∞
P
n=0
a
n(x) −
+∞
P
n=0
