Montrer que q est une forme quadratique sur E

Universit´e d’Orl´eans 10 Mai 2011 D´epartement de Math´ematiques

L4MA02 Alg`ebre III

Examen Premi`ere Session

dur´ee : 2 heures

Documents et appareils ´electroniques interdits

Questions de cours :

1) Enoncer le th´eor`eme de Sylvester sur les formes quadratiques r´eelles.

2) Qu’est-ce-qu’un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel euclidien ? Que pouvez-vous dire sur la diagonalisation des endomorphismes sym´etriques ?

Exercice 1

Soient ϕ₁, ϕ₂ et ϕ₃ les formes lin´eaires sur E =R³ d´efinies par







ϕ1(x, y, z) = x−y ϕ₂(x, y, z) = y+z ϕ3(x, y, z) = x+z

a) D´eterminer les coordonn´ees de chaque ϕ_i dans la baseB^∗₀ = (^∗₁, ^∗₂, ^∗₃) duale de la base canonique B0 = (1, 2, 3) de R³.

b) La famille (ϕ1, ϕ2, ϕ3) est-elle libre ?

c) D´eterminer la dimension de F = Ker(ϕ1)∩Ker(ϕ2)∩Ker(ϕ3).

d) On pose q =ϕ²₁−ϕ²₂+ϕ²₃. Montrer que q est une forme quadratique sur E. e) D´eterminer la signature, le rang et le noyau de q.

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3 rapport´e `a une base orthonormale directe B. Pour tout a ∈R, on consid`ere l’endomorphisme f_a dont la matrice dansB est :

A= 1 3





−1 −2a 2

−2 −a −2

2 −2a −1





a) D´emontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles fa est un endomor- phisme orthogonal.

b) Pour chacune de ces deux valeurs, d´eterminer la nature g´eom´etrique de f_a.

Exercice 3

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension net u ∈L(E).

a) Montrer que u^∗u (c’est l’endomorphisme compos´e u^∗ ◦ u) admet une base orthonormale de vecteurs propres B= (e₁, . . . , e_n).

b) Montrer que toute valeur propre de u^∗u appartient `a R₊.

c) Pouri= 1, . . . , n, on noteλi la valeur propre deu^∗uassoci´ee au vecteur propre e_i. On suppose λ₁ ≥λ₂ ≥ . . .≥λ_n. Soit x ∈E de coordonn´ees (x₁, . . . , x_n) dans la base B. Calculer kxk² et ku(x)k²−λ1kxk² en fonction des xi et des λi.

d) Montrer que ku(x)k² ≤λ1kxk².

e) Montrer que ku(x)k² = λ₁kxk² si et seulement si x est dans le sous-espace propre deu^∗u associ´e `a la valeur propre λ1.

f) En d´eduire que λ₁ = max{ku(x)k² :x∈E,kxk= 1}.

Exercice 4

SoitE =C([0,1]) l’espace vectoriel r´eel des fonctions continues sur l’intervalle [0,1]

`

a valeurs r´eelles. On munitE du produit scalaire d´efini par< f, g >=R1

0 f(t)g(t)dt pourf, g ∈E et on notek.kla norme associ´ee. On note ₀, ₁ les fonctions d´efinies par 0(t) = 1 et 1(t) =t pour t∈[0,1].

a) D´eterminer une base orthogonale (e₀, e₁) du sous-espace vectoriel F engendr´e par 0 et 1.

b) Exprimer `a l’aide du produit scalaire les coordonn´ees (a0, a1) dans la base (e₀, e₁) de la projection orthogonale P_F(g) surF d’un ´el´ement g∈E quelconque.

c) Soitd(g, F) = inff∈F kg−fkla distance deg`a F. Calculerd(g, F)² en fonction de kgk² et de kP_F(g)k².

d) Calculer explicitement PF(g) etd(g, F) pour la fonctiong d´efinie par

g(t) = 1

t−2, t ∈[0,1].

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