muni de la forme quadratique q de matrice Ö 1

1 n − 1 n

−1

Je pose V = Q

muni de la forme quadratique q de matrice Ö 1

. . . 1

è

Je note G = SO(V, q) qui est quasi-d´ eploy´ e. Soit

µ(z) = diag(z, 1, . . . , 1, z

).

La classe basique de B(G, µ) est [b] = [1] avec J

= G. On voit sur le dessin que l’hypoth` ese de ma conjecture est v´ erifi´ ee.

L’isocristal associ´ e est ˘ Q

avec comme Frobenius σ

. Les sous-isocristaux sont en bijection avec les sous- Q

-e.v. de V . Soit C| Q ˘

alg´ ebriquement clos. On regarde maintenant les droites D ⊂ V

qui sont des Lagrangiens i.e. qui v´ erifient

D.D = 0

relativement ` a la forme quadratique q i.e. la quadrique ˘ F d’´ equation P

i=1

x

x

= 0 dans P

de coordonn´ ees homog` enes [x

: . . . : x

]. Soit Q

n 2]

p

⊕ (0) ⊂ V , un sous-espace Lagrangien. Je note P le sous-groupe parabolique associ´ e de G. Si D ⊂ V

il lui est associ´ e la filtration de Hodge

(0) ⊂ Fil

= D ⊂ Fil

= D

⊂ Fil

= V

.

La condition d’admissibilit´ e faible s’´ ecrit alors : pour tout sous-espace totalement isotrope W de V , D ∩ W

= (0). On en d´ eduit que si X ⊂ F ˘ d´ esigne la vari´ et´ e de Schubert associ´ ee au sous-groupe parabolique P (l’intersection de la quadrique pr´ ec´ edente avec le sous-espace lin´ eaire x

2]+1

= · · · = x

= 0) alors

F ˘

= ˘ F

\ G( Q

).X

. Passons maintenant au lieu admissible. On regarde les modifications

E

−−→ O

2

donn´ ees par une droite Lagrangienne comme pr´ ec´ edemment et telle que la position relative des r´ eseaux (B

)

et E b

dans B

soit donn´ ee par (t, 1, . . . , 1, t

).

D’apr` es la proposition A.9 de ton appendice ` a l’article de Scholze on a E ' O

(

) ⊕ O

⊕ O

(−

)

pour un entier r v´ erifiant 1 ≤ r ≤ [

] ou bien E ' O

auquel cas c’est gagn´ e. On suppose donc qu’on est dans le premier cas. La forme quadratique parfaite sur E est telle que pour toute pente λ ∈ Q , pour la filtration de H.N. de E on ait ( E

)

= E

. On en d´ eduit que via l’isomorphisme pr´ ec´ edent

O

(

)

= O

(

) ⊕ O

et donc en particulier O

(

) est totalement isotrope. Via notre modification E

−

→ O

il existe un unique sous-fibr´ e localement facteur direct F ⊂ O

induisant une modification

O

(

)

−−→

F

.

En particulier F est totalement isotrope dans O

. De plus, une telle modification est forc´ ement des types possibles suivants :

(1) (−1, 0, . . . , 0) (2) (0, . . . , 0, 1) (3) (0, . . . , 0)

Il suffit pour cela de regarder pour tout sous-B

-e.v. E de B

les positions relatives des r´ eseaux E ∩(B

)

et E∩ < te

, e

, . . . , e

, t

e

>. Puisque O

est semi-stable on doit avoir deg( F ) ≤ 0. En regardant les trois cas pr´ ec´ edents on en d´ eduit que F est une modification de degr´ e −1 de O

(

). Ainsi, F ' O

(cas Lubin-Tate ou application du th´ eor` eme de classification des fibr´ es, c’est la mˆ eme chose de toutes fa¸ cons). Ainsi, F = W ⊗ O

pour un sous-espace totalement isotrope de Q

. On en d´ eduit que si la modification est faiblement admissible elle est admissible.

Laurent Fargues, CNRS, Institut de Math´ematiques de Jussieu, 4 place Jussieu 75252 Paris E-mail address:laurent.fargues@imj-prg.fr