Devoir Surveill´ e – Math´ ematiques 4

Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Ann´ee universitaire 2016 - 2017

Licence Math´ematiques 1`ere ann´ee

Devoir Surveill´ e – Math´ ematiques 4

Lundi 26 mars 2017 Dur´ee : 2h

Documents et calculatrices non autoris´es

Exercice 1. Questions de cours

1. SoitEunRespace vectoriel. Rappeler la d´efinition de famille libre de vecteurs deE.

2. Rappeler la d´efinition de la convergence d’une suite de r´eels (un)n vers une limite`∈R.

Exercice 2. Parmi les sous-ensembles suivants deR⁴, pr´eciser lesquels sont des sous-espaces vectoriels : 1. E={(x, y, z, t)∈R⁴|3x−y+t= 0};

2. F ={(x, y, z, t)∈R⁴|x−y+ 2z+t= 1}; 3. G={(x, y, z, t)∈R⁴| |x+t|=|y|}.

Exercice 3. On consid`ere, dans R⁴, les vecteurs :

v1= (1,2,3,4), v2= (1,1,1,3), v3= (2,1,1,1), v4= (−1,0,−1,2), v5= (2,3,0,1) SoitF l’espace vectoriel engendr´e par (v1, v2, v3) etGcelui engendr´e par (v4, v5).

1. Montrer que les familles (v₁, v₂, v₃) et (v₄, v₅) sont libres.

2. En d´eduire la dimension deF et celle deG.

3. Le vecteurw= (1,4,6,10) appartient-il `aF? et `a G? 4. Donner une base deF+G.

5. Calculer les dimensions deF∩GetF+G.

Exercice 4. Calculer la limite de la suite (un)n lorsque un est ´egal `a 1. 3ⁿ

4ⁿ ; 2. n³+ 2n

3ⁿ ; 3. cos

2ⁿ n!

; 4. ln

n²+ 2n+ 1 n²

;

5.

1 + 1

n^{2 n2}

;

Exercice 5. Soit (un)n une suite convergente versa∈Ret (vn)n une suite convergente versb∈R. 1. Montrer, en utilisant la d´efinition de limite, que la suite (vn)n est born´ee par un r´eel M ∈N. 2. D´emontrer, en utilisant la d´efinition de limite, que la suite (u_n×v_n) converge versa×b.

Indication : on pourra utiliser apr`es justifcations :un×vn−a×b= (un−a)×vn+a×(vn−b).