Premi`ere S1 Pour le lundi 12 mars
Devoir non surveill´ e de math´ ematiques n
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Exercice 1:
Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = 2x3−6x2+ 7x−1. On noteC la courbe repr´esentative de la fonction f dans un rep`ere (O;#”ı ,#”).
1. D´eterminer une ´equation de la tangente T `aC au point d’abscisse 1.
2. On pose g(x) =f(x)−(x+ 1), o`u g est d´efinie surR. a) ´Etudier les variations de g surR.
b) Sans calcul, expliquer l’´egalit´e g(1) = 0.
c) Dresser le tableau de signes de g surR.
d) En d´eduire la position relative de la courbe C par rapport `a la tangente T.
Exercice 2:
Mur de la ferme
x x
• y A
•
B Un fermier d´ecide de r´ealiser un poulailler de forme rec-
tangulaire le long du mur de sa maison. Ce poulailler doit avoir une aire de 392m2. O`u doit-on placer les piquetsAetB pour que la longueur de la clˆoture soit minimale ?
La figure ci-contre repr´esente le poulailler accol´e `a la ferme envue de dessus. On appellex la distance s´epa- rant chaque piquet du mur, et y la distance s´eparant les deux piquetsA etB. (On a doncx >0 ety >0)
1. Sachant que l’aire du poulailler est392m2, exprimery en fonction dex.
2. D´emontrer que la longueur ℓ(x) du grillage est : ℓ(x) = 2x+ 392 x .
3. Calculer la fonction d´eriv´eeℓ′ deℓsur ]0 ; +∞[. En d´eduire de tableau de variation deℓ.
4. En d´eduire les dimensionsx et y pour lesquelles la clˆoture a une longueur minimale. Pr´eciser cette longueur.
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