Premi`ere S Pour le lundi 15 janvier
Devoir non surveill´ e de math´ ematiques n
o5
Exercice 1:
×
×
×
×
×
×
×
× A
B D E
C
M
P
N
ABCD et CM N P sont des parall´elogrammes tels que AB ,# ” AD# ”
= π6 (2π) et CD ,# ” CM# ”
= π2 (2π).
E est le point tel que le triangle ADE est un triangle ´equi- lat´eral direct.
Prouver que les droites(AE) et (N P) sont parall`eles.
Exercice 2: On donnesin
7π
12
=
√6 +√ 2
4 .
1. a) D´evelopper √ 2−
√62
. b) D´emontrer quecos
7π
12
=
√2−
√6
4 .
2. Donner, en justifiant, les valeurs exactes suivantes : a) sinπ
12
; b) sin
11π
12
; c) cos
− 23π
12
.
Exercice 3:
u1 u
2 u 3
× ×
×
×
×
×
×
×
×
×
1
O A
B C D
Spirale de Pythagore
On appelleun, la longueur de l’hypot´enuse du n-`eme triangle rectangle dans la spirale de pythagore.
1. Exprimerun+1 en fonction deun, pour n>1. Justifier 2. Calculeru1 puisu2 et u3.
3. Conjecturer une formule explicite pour la suite(un).
4. Calculer une mesure en radians, `a10−2 pr`es, de l’angle COD.\
5. Le but de cette question est de d´eterminer le nombre minimal de triangles rectangles n´ecessaires pour que la spirale fasse au moins un tour complet.
´Ecrire un algorithme et le programme associ´e sur calculatrice (ou en Python) permettant d’obtenir le nombre minimal de triangles n´ecessaires.
Le TP « Initiation `a Python» est disponible `a http://mathematiques.ac.free.fr/ et le logiciel EduPython est t´el´echargeable
`
a https://edupython.tuxfamily.org/
En Python, cos(x) se note cos(x) et cos−1(x) se note acos(x). (Notations analogues pour le sinus et la tangente).
http://mathematiques.ac.free.fr