Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n

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Premi`ere S1 Correction du devoir maison n^o4

Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n

^o

4

Exercice 1 :

Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes :

a) (un) est la suite d´efinie pour tout entiern paru_n= 3n²−8n−5.

´Etudions le signe deu_n+1−u_n :

u_n+1= 3(n+ 1)²−8(n+ 1)−5 = 3(n²+ 2n+ 1)−8n−8−5 = 3n²−2n−10.

Soitn>0, un+1−un= 3n²−2n−10

− 3n²−8n−5

= 6n−5>0, ∀n>1 Ainsi, la suite (un)_n>1 est croissante

b) (v_n)_n>2 est d´efinie parv_n= n²+ 1 3n−5.

´Etudions le signe devn+1−vn : v_n+1 = (n+ 1)²+ 1

3(n+ 1)−5 = n²+ 2n+ 1 + 1

3n+ 3−5 = n²+ 2n+ 2 3n−2 Soitn>2, v_n+1−v_n=

n²+ 2n+ 2 3n−2

−

n²+ 1 3n−5

= (n²+ 2n+ 2)(3n−5)−(n²+ 1)(3n−2) (3n−2)(3n−5)

= 3n³−5n²+ 6n²−10n+ 6n−10−(3n³−2n²+ 3n−2) (3n−2)(3n−5)

= 3n²−7n−8 (3n−2)(3n−5)

∗ 3n−2>0, ∀n>1

∗ 3n−5>0, ∀n>2

∗ Signe de3x²−7x−8sur R:

Il s’agit d’un polynˆome du second degr´e :

∆ =b²−4ac= (−7)²−4×3×(−8) = 145

∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.

x1 = −b−√

∆

2a = −(−7)−√ 145

2×3 = 7−√ 145

6 ≈ −0,84 x2 = −b+√

∆

2a = −(−7) +√ 145

2×3 = 7 +√ 145

6 ≈3,17 D’o`u le tableau de signes :

x 3x²−7x−8

a=3>0

−∞ ⁷⁻^√6¹⁴⁵

7+√ 145

6 +∞

+ 0 − 0 +

Ainsi,3n²−7n−8>0, ∀n>4 (nest un entier)

Par quotient, 3n²−7n−8

(3n−2)(3n−5) >0, n>4. (v_n)_n>4 est une suite croissante

c) (w_n) est d´efine parw0=−3 et la relation de r´ecurrence w_n+1 =w_n+ 3n+ 5, ∀n>0.

´Etudions le signe dew_n+1−w_n: w_n+1=w_n+ 3n+ 5

Soitn>0, w_n+1−w_n= (wn+ 3n−5)−(wn) = 3n+ 5>0, ∀n>0.

Ainsi, la suite (wn) est croissante

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(2)

Exercice 2 :

Dans un rep`ere(O ;#”ı ,#”), on consid`ere les points A(−3 ; 1)et B(7 ; 5).

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5 #”

i

#”j

O

×

× (∆)

(d)

A

B

C

D

1. Une ´equation cart´esienne de la droite (AB) est de la formeax+by+c= 0.

# ” AB

10 4

−b a

est un vecteur directeur de la droite (AB). Donc,(−b= 10 ⇐⇒ b=−10)et a= 4.

Une ´equation cart´esienne de la droite (AB) est 4x−10y+c= 0

PuisqueA∈(AB), ses coordonnées vérifient l’équation de (AB) :4xA−10yA+c= 0 ⇐⇒ c= 22 D’où, (AB) : 4x−10y+ 22 = 0ou encore (AB) : 2x−5y+ 11 = 0

2. Soit (d) la droite d’équation 15x−11y−50 = 0. C appartient à l’axe des abscisses, donc y_C = 0. D’où, 15xC −11yC −50 = 0 ⇐⇒ xC = ⁵⁰₁₅ = ¹⁰₃ C

10 3 ; 0

. 3. On note(∆) la droite d’´equation5x+y+ 14 = 0.

On remarque queA∈(∆) (^5xA+y_A+14 = 0) etB ∈(d) (^15xB−11y_B−50 = 0). De plus, les couples(15 ; −11) et (5 ; 1) ne sont pas proportionnels donc les droites (d) et (∆) ne sont pas parallèles. Ainsi, ABCD est forcément un trapèze de bases(AB) et (CD).

Il suffit donc de déterminer une équation cartésienne de la droite(DC), parallèle à(AB)passant parC, puis de calculer les coordonnées du point d’intersection entre cette dernière droite et(∆).

∗ Une ´equation cart´esienne de la droite (CD) est de la formeax+by+c= 0.

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(3)

(CD)(AB)donc AB# ” 10

4

−b a

est aussi un vecteur directeur de la droite(CD).

Donc, (−b= 10 ⇐⇒ b=−10)eta= 4.

Une ´equation cart´esienne de la droite (CD) est 4x−10y+c= 0

PuisqueC ∈(CD), ses coordonnées vérifient l’équation de(CD):4xC−10yC+c= 0 ⇐⇒ c=−⁴⁰3

D’o`u, (CD) : 4x−10y− ⁴⁰3 = 0 ou encore (CD) : 6x−15y−20 = 0

∗ Le couple de coordonn´ees de Dest solution du syst`eme ( 5x+ y+ 14 = 0

6x−15y−20 = 0 6L1−5L2 ⇐⇒

( 5x+ y+ 14 = 0

81y+ 184 = 0 ⇐⇒

( 5x+y+ 14 = 0 y =−¹⁸⁴81

⇐⇒

( 5x−¹⁸⁴81 + 14 = 0 y =−¹⁸⁴81

⇐⇒

( x =−¹⁹⁰81

y =−¹⁸⁴81

D’o`u D

−190

81 ; −184 81

Exercice 3 :

On considère la suite(un) définie paru0= 1 et la relation de récurrence n×u_n= (n+ 1)×u_n−1+ 1,∀n>1.

1. Pour toutn>1, n×u_n= (n+ 1)×u_n−1+ 1 ⇐⇒ u_n= ⁿ⁺¹_n ×u_n−1+_n¹. Algorithme permettant de calculer le terme de rang100 de la suite (un).

iest un entier etu est un r´eel.

u←1

Pour i= 1 jusqu’`a100 Faire u← ⁱ⁺¹i ×u+¹_i

Fin Pour

Afficher la valeur deu

Figure 1 – Programme Casio Figure 2 – Programme TI La calculatrice affiche 201.

2. A l’aide de la calculatrice, on complète le tableau suivant (il suffit de changer dans le programme précédent, 100 par le rang souhaité) :

u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

3. Conjecture d’une formule explicite pour la suite(un) : u_n= 2n+ 1, ∀n>0

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