Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n

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Premi`ere S1 Correction du devoir maison n^o3

Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n

3

Exercice 1 :

1. On aP(x) =−2x²+ 3x−4 =−2 x²−³2x+ 2 x²−³2x est le d´ebut de l’identit´e remarquable x− ³4

2

. Mais, x− ³4

2

=x²−³2x+₁₆⁹. P(x) =−2

x²−3

2x+ 2

=−2

x²−3 2x+ 9

16 − 9 16 + 2

=−2

x−3 4

²

− 9 16 + 2

!

=−2

x−3 4

2

− 9 16 +32

16

!

=−2

x−3 4

² +23

16

!

=−2

x−3 4

2

−23 8

Donc, la forme canonique deP(x) est P(x) =−2 x− ³4

²

−²³8 . 2. a) x²=−5x−6 ⇐⇒ x²+ 5x+ 6 = 0

Il s’agit d’une ´equation du second degr´e :

∆ =b²−4ac= 5²−4×1×6 = 25−24 = 1

∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.

x1= −b−√

∆

2a = −5−√ 1

2×1 = −5−1 2 = −6

2 =−3 x2= −b+√

∆

2a = −5 +√ 1

2×1 = −5 + 1 2 = −4

2 =−2 Donc S={ −3 ; −2}

b) 2x(5 + 2x) =−9−2x ⇐⇒ 10x+ 4x²=−9−2x ⇐⇒ 4x²+ 12x+ 9 = 0 Il s’agit d’une ´equation du second degr´e :

∆ =b²−4ac= 12²−4×4×9 = 144−144 = 0

∆ = 0, donc il existe une unique solution.

x0= −b

2a = −12

2×4 = −12 8 = −3

2

Donc S=

−3 2

3. Soit un r´eelm >1.

mx²+ (m+ 1)x+ 1 = 0

Il s’agit d’une ´equation du second degr´e :

∆ =b²−4ac= (m+ 1)²−4×m×1 =m²+ 2m+ 1−4m=m²−2m+ 1 = (m−1)²

∆>0 (^m6= 1), donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.

x1 = −b−√

∆

2a = −(m+ 1)−p

(m−1)²

2×m = −m−1− |m−1|

2m = −m−1−(m−1)

2m = −2m

2m =−1

carm >1

1/2 29 octobre 2017

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Premi`ere S1 Correction du devoir maison n^o3

x2 = −b+√

∆

2a = −(m+ 1) +p

(m−1)²

2×m = −m−1 +|m−1|

2m = −m−1 + (m−1)

2m = −2

2m =−1 m

carm >1

Donc S =

−1 m ; −1

Exercice 2 :

On consid`ere la fonction polynˆome P d´efinie pour tout nombre r´eelx parP(x) =x³+x²−14x−24.

1. P(−2) = (−2)³+ (−2)²−14×(−2)−24 =−8 + 4 + 28−24 = 0 P(−2) = 0

On en d´eduit que−2 est une racine deP. 2. En d´eveloppant la forme factoris´ee,

P(x) = (x+ 2)(ax²+bx+c)

=ax³+bx²+cx+ 2ax²+ 2bx+ 2c

=ax³+ (b+ 2a)x²+ (c+ 2b)x+ 2c

Par identification des coefficients, on a











a = 1 b+ 2a = 1 c+ 2b = −14 2c = −24

⇐⇒







a = 1 b = −1 c = −12 Donc P(x) = (x+ 2)(x²−x−12)

3. P(x) = 0 ⇐⇒ (x+ 2)(x²−x−12) = 0

⇐⇒ (x+ 2)(x²−x−12) = 0

⇐⇒ x+ 2 = 0 ou x²−x−12 = 0

⇐⇒ x=−2 Il s’agit d’une ´equation du second degr´e :

∆ =b²−4ac= (−1)²−4×1×(−12) = 1 + 48 = 49

∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.

x1= −b−√

∆

2a = −(−1)−√ 49

2×1 = 1−7 2 = −6

2 =−3 x2= −b+√

∆

2a = −(−1) +√ 49

2×1 = 1 + 7 2 = 8

2 = 4

Donc S ={ −3 ; −2 ; 4}

Exercice 3 :

On consid`ere la fonction rationnellef d´efinie parf(x) = x²+ 5x−2

−3x²−4x+ 5. f est d´efinie pour tout r´eelx tels que −3x²−4x+ 56= 0

Il suffit donc de r´esoudre l’´equation−3x²−4x+ 5 = 0 dans R. Il s’agit d’une ´equation du second degr´e :

∆ =b²−4ac= (−4)²−4×(−3)×5 = 16 + 60 = 76

∆>0, donc il existe deux solutions r´eelles distinctes.

x1 = −b−√

∆

2a = −(−4)−√ 76

2×(−3) = 4−2√ 19

−6 = −2 +√ 19 3

x2 = −b+√

∆

2a = −(−4) +√ 76

2×(−3) = 4 + 2√ 19

−6 = −2−√ 19 3 Ainsi, le domaine de d´efinition def est R\n

−2−√ 19

3 ; ⁻²⁺₃^√19o .

2/2 29 octobre 2017