Sujet Gauche
Correction du devoir surveill´e de math´ematiques n
◦9
Exercice 1
1. u0 =−5 , u1 =−1 , u2 = 3 , u3 = 7.
2. un+1−un= [4(n+ 1)−5]−[4n−5] = 4 donc la suite est arithm´etique de terme initialu0=−5 et de raison 4.
3. La suite est arithm´etique de raison positive donc elle est croissante.
4. S= nombre de termes×(premier terme + dernier terme)
2 = 86×(−5 + 335)
2 = 14190.
Exercice 2
1. u0 = 9 , u1 = 3 , u2 = 1 , u3= 1 3. 2. un+1= 1
3undonc la suite est g´eom´etrique de terme initialu0 = 9 et de raison 1
3 d’o`uun= 9×
1
3
n
= 1
3n−2. 3. On remarque que 59049 = 310, le terme est donc de rang 10 + 2 = 12.
4. S= premier terme−raison×dernier terme
1−raison =
9−1 3× 1
310 1−1
3
= 27
2 − 1
2×310.
Exercice 3
1. La suite est g´eom´etrique de terme initial u0 = 1 et de raison r = 3
4, comme u0 >0 et 0< r <1 la suite est d´ecroissante et converge vers 0.
2. un+1−un=
1− 1 n+ 1
−
1− 1 n
= 1
n(n+ 1) >0 donc la suite est croissante, de plus
1
n
n>1
converge vers 0 donc la suite (un)n>1 converge vers 1−0 = 1.
Exercice 4
1. u0 =−1
2 , u1 = 1
5 , u2 = 3
8 , u3 = 5 11. 2. un+1−un= 2(n+ 1)−1
3(n+ 1) + 2 −2n−1
3n+ 2 = 7
(3n+ 5)(3n+ 2) >0 donc la suite est croissante.
3. Pour n > 1 on a un = n(2−n1)
n(3 +n2) = 2−n1
3 +n2, le num´erateur converge vers 2 et le d´enominateur vers 3 donc la suite converge vers 2
3.
Exercice 5
1. la raison de la suite est r= 22,2−9,4
17−9 = 1,6 et le premier terme u0 =u9−9×r= 9,4−9×1,6 =−5.
2. La forme explicite de la suite estun=u0+n×r=−5 + 1,6n.
3. u51=−5 + 1,6×51 = 76,6.
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