Premi`ere S Correction du devoir maison no6
Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n
o6
Exercice 1 :
Soitf la fonction d´efinie surRparfpxq “2x3´6x2`7x´1. On noteC la courbe repr´esentative de la fonction f dans un rep`ere pO;#”ı ,#”q.
1. f est d´erivable surRet f1pxq “6x2´12x`7, @xPR. On af1p1q “1et fp1q “2
T :y“f1p1qpx´1q `fp1q T :y“1px´1q `2 T :y“x`1
Une ´equation de la tangenteT `a C au point d’abscisse1 est y“x`1.
2. On pose gpxq “fpxq ´ px`1q, o`u g est d´efinie surR.
a) Pour toutxPR, gpxq “2x3´6x2`7x´1´x´1“2x3´6x2`6x´2.
g est d´erivable surR etg1pxq “6x2´12x`6, @xPR On remarque queg1pxq “6px´1q2 ě0 sur Ret s’annule en1.
Ainsi, g est strictement croissante surR. x
g1pxq
gpxq
´8 1 `8
` 0 `
0
b) On remarque que gpxqest la diff´erence entrefpxqet l’expression de la tangenteT `aC au point d’abscisse 1. Or, par d´efinition de la tangente `a la courbe en 1, C et T se coupent 1. On a forc´ement l’´egalit´e gp1q “0.
c) Puisque g est strictement croissante sur R et s’annule en 1, g est strictement n´egative sur s ´ 8 ; 1r, strictement positive sur s1 ; `8ret s’annule en1. D’o`u le tableau de signes de gsur R
x gpxq
´8 1 `8
´ 0 `
d) Pour ´etudier la position relative de la courbe C par rapport `a la tangente T, on ´etudie le signe de fpxq ´ px`1q “gpxq sur R.
D’apr`es le signe degobtenu `a la question pr´ec´edente, on en d´eduit queC est en-dessous deT surs´8; 1s, C est au-dessus deT sur r1 ; `8ret elles se coupent au point d’abscisse1.
Exercice 2 :
Mur de la ferme
x x
‚ y A
‚
B Un fermier d´ecide de r´ealiser un poulailler de forme rec-
tangulaire le long du mur de sa maison. Ce poulailler doit avoir une aire de 392m2. O`u doit-on placer les piquetsAetB pour que la longueur de la clˆoture soit minimale ?
La figure ci-contre repr´esente le poulailler accol´e `a la ferme envue de dessus. On appellex la distance s´epa- rant chaque piquet du mur, et y la distance s´eparant les deux piquetsA etB. (On a doncxą0 etyą0)
1. L’aire du poulailler est donn´ee par la formule de l’aire d’un rectangle :xˆy.
Sachant que l’aire du poulailler est392m2, on axy “392. D’o`u y“ 392 x .
2. On sait que le poulailler est un rectangle et que l’un de ses cˆot´es prend appui sur le mur de la ferme. Donc ℓpxq “x`y`x c’est-`a-dire ℓpxq “2x`392
x .
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Premi`ere S Correction du devoir maison no6
3. ℓest d´erivable surs0 ; `8rcomme somme de fonctions d´erivables.
ℓ1pxq “2´ 392
x2 “ 2x2´392
x2 @xPs0 ; `8r.
On ´etudie le signe de ℓ1pxq sur s0 ; `8r:
x2ě0 et s’annule en0Rs0 ; `8rdonc le signe deℓ1 surs0 ; `8rne d´epend que de celui du num´erateur 2x2´392.
On r´esout 2x2´392“0 :
2x2´392“0 ðñ x2 “196 ðñ x“14 ou x“ ´14 Orxą0 donc la solution est x“14.
D’o`u le tableau de variations deℓsur s0 ; `8r: x
ℓ1pxq
ℓ
0 14 `8
´ 0 `
56
ℓest d´ecroissante sur s0 ; 14s puis croissante surr14 ; `8r
4. ℓ est d´ecroissante sur s0 ; 14s puis croissante sur r14 ; `8r. ℓ admet donc un minimum sur s0 ; `8r en x“14. La longueur de la clˆoture sera minimale pour x“14m et y “ 39214 “28m. La longueur de grillage n´ecessaire est alors de56m.
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