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Premi`ere S1 Correction du devoir maison no2
Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n
o2
SoitABC un triangle non rectangle, I, J etK les milieux respectifs des cˆot´es [BC],[AC] et [AB]. On note R le centre du cercle circonscrit au triangleABC.
×A
B×
×C I×
×J
× K
× R
T×
×G
1. SoitT le point d´efini par :
# ”
RT =RA# ”+RB# ”+RC# ” a) RB# ”+RC# ”=RI# ”+IB# ”+RI# ”+IC# ”
= 2RI# ”+IB# ”+IC# ”
= 2RI# ”+#”0 carI est le milieu de[BC]doncI B# ”+I C# ”=#”0
Donc, RB# ”+RC# ”= 2RI# ”. b) On a RT# ”=RA# ”+RB# ”+RC# ”
⇐⇒ RA# ”+AT# ”=RA# ”+RB# ”+RC# ” d’apr`es la relation de CHASLES
⇐⇒ AT# ”=RB# ”+RC# ”
⇐⇒ AT# ”= 2RI# ” d’apr`es le r´esultat de la queston pr´ec´edente
Ainsi, AT# ”= 2RI# ”.
c) Du r´esultat de la question 1.b), on en d´eduit que les droites(AT)et (RI) sont parall`eles car les vecteurs
# ”
AT et RI# ” sont colin´eaires.
Rest le centre du cercle circonscrit au triangleABC etI est le milieu de[BC]donc(RI)est la m´ediatrice du segment [BC].
(RI)(AT) (BC)⊥(RI)
)Si deux droites sont parall`eles alors toute droite perpendiculaire `a l’une est perpendi- culaire `a l’autre. Donc, la droite(BC)est perpendiculaire `a la droite (AT).
d) Montrons dans un premier temps que les vecteurs BT# ”et RJ# ” sont colin´eaires : On a RT# ”=RA# ”+RB# ”+RC# ”
⇐⇒ RB# ”+BT# ”=RA# ”+RB# ”+RC# ” d’apr`es la relation de CHASLES
⇐⇒ BT# ”=RA# ”+RC# ”
⇐⇒ BT# ”=RJ# ”+J A# ”+RJ# ”+J C# ”
⇐⇒ BT# ”= 2RJ# ”+J A# ”+J C# ”
⇐⇒ BT# ”= 2RJ# ” carJ est le milieu de[AC]doncJ A# ”+J C# ”=#”0
1/2 2 octobre 2017
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Premi`ere S1 Correction du devoir maison no2
Ainsi, les vecteurs BT# ”et RJ# ”sont colin´eaires. On en d´eduit que les droites (BT) et (RJ) sont parall`eles.
Rest le centre du cercle circonscrit au triangleABC etJ est le milieu de[AC]donc(RJ)est la m´ediatrice du segment [AC].
(RJ)(BT) (AC)⊥(RJ)
)Si deux droites sont parall`eles alors toute droite perpendiculaire `a l’une est perpendi- culaire `a l’autre. Donc, la droite(AC) est perpendiculaire `a la droite(BT).
On vient de d´emontrer que les droites(AT)et(BT)sont deux hauteurs (issues respectivement deAetB) du triangleABC. Comme les trois hauteurs d’un triangle sont coucourrantes en point appel´e orthocentre du triangle, on peut dire que le point T est l’orthocentre du triangleABC.
2. On noteGle centre de gravit´e du triangle ABC, d´efini par la relation GA# ”+GB# ”+GC# ”= #”0. a) RT# ”=RA# ”+RB# ”+RC# ”
=RG# ”+GA# ”+RG# ”+GB# ”+RG# ”+GC# ”
= 3RG# ”+GA# ”+GB# ”+GC# ”
= 3RG# ” carGA# ”+GB# ”+GC# ”=#”0
Donc, RT# ”= 3RG# ”
b) Dans un triangle, le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre et le centre de gravit´e sont confondus si, seulement si le triangle est ´equilat´eral.
c) Le cas pr´ec´edent except´e, on a montr´e dans la question 2.a) que les vecteurs non nuls RT# ” et RG# ” sont colin´eaires. On en d´eduit que les points R, T etGsont align´es et non confondus. Cette droite est appel´ee droite d’EULER.
2/2 2 octobre 2017
