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Premi`ere S Correction du devoir maison no5
Correction du devoir non surveill´ e de math´ ematiques n
o5
Exercice 1 :
×
×
×
×
×
×
×
× A
B D E
C
M
P
N
ABCD et CM N P sont des parall´elogrammes tels que
´AB ,# ” AD# ”¯
“ π6 p2πq et ´CD ,# ” CM# ”¯
“ π2 p2πq.
E est le point tel que le triangle ADE est un triangle ´equilat´eral direct.
D’apr`es la relation de CHASLES,
´AE ,# ” CM# ”¯
“´AE ,# ” AD# ”¯
`´AD ,# ” AB# ”¯
`´AB ,# ” CM# ”¯ p2πq
“ ´π 3 ´π
6 `´DC ,# ” CM# ”¯
p2πq carADEest un triangle ´equilat´eral direct etABCDest un parall´elogramme
“ ´π 3 ´π
6 `´
´CD ,# ” CM# ”¯ p2πq
“ ´π 3 ´π
6 `π`´CD ,# ” CM# ”¯ p2πq
“ ´π 3 ´π
6 `π`π 2 p2πq
“π p2πq
Mais,CM N P est un parall´elogramme donc,π “´
# ”
AE ,CM# ”¯
“´
# ”
AE , P N# ”¯
p2πq.
On en d´eduit que les vecteursAE# ” etP N# ” sont colin´eaires. Ainsi, les droitespAEq et pN Pq sont parall`eles.
Exercice 2 : On donnesin
ˆ7π 12
˙
“
?6`? 2
4 .
1. a) `?
2´? 6˘2
“2´2?
12`6“8´4? 3.
b) On a cos2`7π 12
˘`sin2`7π 12
˘“1 ðñ cos2`7π
12
˘`´? 6`?
2 4
¯2
“1 ðñ cos2`7π
12
˘`6`2?166?2`2 “1 ðñ cos2`7π
12
˘`8`216?12 “1 ðñ cos2`7π
12
˘“1´8`216?12
ðñ cos2`7π
12
˘“ 16´816´2?12
ðñ cos2`7π 12
˘“ 8´164?3
ðñ cos`7π 12
˘“
?8´4? 3
4 ou cos`7π
12
˘“ ´
?8´4? 3 4
Mais 7π12 P rπ2 ; πsdonccos`7π
12
˘ď0
Ainsi, cos`7π 12
˘“ ´
?8´4? 3
4 .
Maisp? 2´?
6q2 “8´4?
3 d’apr`es la question 1.a) D’o`u,cos`7π
12
˘“ ´
?8´4? 3
4 “ ´
?p? 2´?
6q2
4 “ ´|
?2´? 6|
4 “ ´´p?2´?6q
4 “ ?2´4?6
Ô
car? 2´?
6ă0
cos ˆ7π
12
˙
“
?2´? 6 4
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2. Donner, en justifiant, les valeurs exactes suivantes : a) sin
´π 12
¯
“ ´sin
´
´π 12
¯
“ ´sin ˆπ
2 ´7π 12
˙
“ ´cos ˆ7π
12
˙
“ ´?2´4?6 “ ?6´4?2 Ainsi, sin
´π 12
¯“ ?6´4?2
b) sin ˆ11π
12
˙
“sin
´ π´ π
12
¯
“sin
´π 12
¯
“ ?6´4?2
Ainsi, sin ˆ11π
12
˙
“ ?6´4?2
c) cos ˆ
´23π 12
˙
“cos
´π 12´2π
¯
“cos
´π 12
¯
“cos
´
´π 12
¯
“cos ˆπ
2 ´7π 12
˙
“sin ˆ7π
12
˙
“ ?6`4?2
Ainsi, cos ˆ
´23π 12
˙
“ ?6`4?2
Exercice 3 :
u1 u
2 u 3
× ×
×
×
×
×
×
×
×
×
1
O A
B C D
Spirale de Pythagore
On appelleun, la longueur de l’hypot´enuse du n-`eme triangle rectangle dans la spirale de pythagore.
1. On se place dans le pn`1q-`eme triangle. La longueur de l’hypot´enuse du triangle rectangle est un`1, et les longueurs des cˆot´es adjacents sont1et un. D’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, on a
12`u2n“u2n`1 ðñ un`1“a 1`u2n
Donc,un`1 “a
1`u2n.
2. ˚ Dans le triangleOAB rectangle enA, d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore, on a OA2`AB2“OB2 ðñ 1`1“u21 ðñ u1“?
2 u1 “?
2.
˚ En utilisant la relation de r´ecurrence,u2“a
1`u21“ b
1`?
22 “? 3
˚ u3 “a
1`u22 “ b
1`? 32“?
4“2 3. Conjecture : il semble queun“?
n`1, @ně1.
4. Dans le triangleOCD rectangle enC,cos{COD“ cˆot´hypot´e adjacentenuse “ ODOC “uu23 “ ?23. On obtientCOD{“ π6 radians. ({COD«0,52 radians)
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5. Le but de cette question est de d´eterminer le nombre de triangles rectangles n´ecessaires pour que la spirale fasse au moins un tour complet.
N est un entier naturel etα est un r´eel.
αÐ π4 N Ð1
Tant queαă2π Faire Tant qu’on n’a pas fait un tour complet
N ÐN `1 on construit un triangle suppl´ementaire
αÐα`cos´1´ ?
?NN`1
¯
on cumule les mesures d’angles au centre
Fin Tant que
Afficher la valeur deN
Programme `a taper sur la calculatrice (Casio) :
======SPIRALE ======
π˜4ÑAê 1ÑNê
While A<2ˆπ ê N+1ÑNê A+cos´1´?
N˜a
pN+1q¯ ÑAê EndWhileê
N
Script Python : alpha=pi/4 n=1
while alpha<2*pi:
n=n+1
alpha=alpha+acos(sqrt(n)/sqrt(n=1))
print("Il faut au moins",n,"triangles pour faire un tour.")
Il faut construireN “17 triangles pour que la spirale de Pythagore fasse au moins un tour complet.
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