Math´ ematiques - Devoir surveill´ e n

I.U.T d’Aix-Marseille Premier semestre 2019/2020 D´epartement Mesures Physiques

MP1

Math´ ematiques - Devoir surveill´ e n

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Pas de calculatrice. Aucun document n’est autoris´e. Portables ´eteints dans vos sacs.

Lundi 21 octobre 2019 - Dur´ee de l’´epreuve 1H45

Note importante: la qualit´e de la r´edaction est prise en compte pour une part importante dans le bar`eme. Chaque r´eponse doit ˆetre soigneusement justifi´ee. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

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Questions de cours-Applications directes(6 points)

1. Enoncez le th´eor`eme qui donne la forme g´en´erale des solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2homog`ene.

2. Enoncez le th´eor`eme qui donne la forme g´en´erale des solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1.

3. Rappelez toutes les propri´et´es (que vous connaissez) de la fonction tangente puis la repr´esenter graphiquement sur un intervalle de longueur la p´eriode.

4. D´eterminez, en justifiant soigneusement, le domaine de d´efinition de la fonctionhd´efinie parh(x) =√

−x²−2x+ 3.

5. Donnez la d´efinition de deux fonctions ´equivalentes en x0 (x0 ∈Roux0 = +∞ou x0 =

−∞). SoitF d´efinie parF(x) = 4x²+ 1

3x³−1. Donnez un ´equivalent deFen +∞et en d´eduire sa limite en +∞.

Exercice 1(2,5 points)

1. D´eterminer les racines carr´ees de ∆ =−3 + 4j.

2. R´esoudre, dansC, l’´equationz²−(3 + 4j)z−1 + 5j= 0.

Exercice 2(4,5 points)

Les questions suivantes sont ind´ependantes.

1. R´esoudre dansRl’´equation : x=√ 3−2x.

2. R´esoudre dansRl’´equation : cos(2x)−√

3 sin(2x) =√ 2.

3. R´esoudre, dansC, l’´equationZ⁴=−16. On donnera les solutions sous forme exponentielle puis sous forme alg´ebrique.

Exercice 3(4,5 points)

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1)

y⁰−2y= cos(x) + 2 sin(x)

Montrer que l’unique solution de (E1) dont la courbe repr´esentative passe par le point de coor- donn´ees (0,−4

5) est une fonction sinuso¨ıdale dont on pr´ecisera l’amplitude, la p´eriode et la phase.

Exercice 4(2,5 points)

R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E2) : y⁰⁰−2y⁰+y=e^x