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Th´eor`eme de la droite des milieux et
th´eor`eme de Thal`es
J-P SPRIET
c JPS
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1. Th´ eor` eme de la droite des milieux
Th´eor`eme de la droite des milieux :
Si ABC est un triangle et siI et J sont les milieux de deux des cˆot´es du triangle, alors la droite (IJ) est parall`ele au troisi`eme cˆot´e. Et [IJ] mesure la moiti´e du troisi`eme cˆot´e.
Exemple : Dans le triangleABC,Iest le milieu de [AB] etJ est le milieu de [BC]. Donc la droite (IJ) est parall`ele `a la droite (AC). EtIJ = 1
2AC.
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2. R´ eciproque du th´ eor` eme de la droite des milieux
R´eciproque du th´eor`eme de la droite des milieux :
Si ABC est un triangle, si I est le milieu de [AB] et si la droite (∆) est la parall`ele `a la droite (AC) passant parI, alors (∆) coupe [BC] en son milieu.
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3. Remarques
Diff´erence entre le th´eor`eme de la droite des milieux et sa r´eciproque :
Th´eor`eme de la droite des milieux :
Si ABC est un triangle et siI et J sont les milieux de deux des cˆot´es du triangle, alors la droite (IJ) est parall`ele au troisi`eme cˆot´e. Et [IJ] mesure la moiti´e du troisi`eme cˆot´e.
R´eciproque du th´eor`eme de la droite des milieux :
Si ABC est un triangle, si I est le milieu de [AB] et si la droite (∆) est la parall`ele `a la droite (AC) passant parI, alors (∆) coupe [BC] en son milieu.
La diff´erence entre le th´eor`eme et sa r´eciproque tient aux conclusions et aux hypoth`eses : Pour montrer quedeux droites sont parall`eles, on utilise le th´eor`eme de la droite des mi- lieux. On a besoin de savoir que les points sont les milieux.
Pour montrer qu’un point est le milieu d’un cˆot´e du triangle, on utilise la r´eciproque du th´eor`eme de la droite des milieux. On a besoin de savoir que les droites sont parall`eles, et on doit connaˆıtre un milieu.
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4. D´ emonstration
D´emonstration du th´eor`eme de la droite des milieux :
Dans le triangleABC,I est le milieu de [AB] etJ est le milieu de [BC].
Montrons que la droite (IJ) est parall`ele `a la droite (AC), et montrons queIJ =1 2AC.
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On introduit le pointK sym´etrique deJ par rapport `aI.
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AlorsI est `a la fois le milieu de [J K] et de [AB]. Le quadrilat`ere BJ AKa ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c’est donc un parall´elogramme.
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PuisqueBJ AK est un parall´elogramme, on a alorsKA=BJ et (KA)//(BJ).
Puisque de plusJ est le milieu de [BC], on a KA=J C et (KA)//(J C).
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Le quadrilat`ereJ CAK a deux cˆot´es oppos´es parall`eles et de mˆeme longueur, c’est donc un parall´elogramme.
Par suite, on a (KJ)//(AC). Et puisqueI∈[KJ], on a (IJ)//(AC)
On a AC = KJ car J CAK est un parall´elogramme, et puisqueI est le milieu de [J K], IJ =1
2KJ= 1
2AC. D’o`u ce que l’on voulait : IJ =1
2AC
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5. Th´ eor` eme de Thal` es
Th´eor`eme de Thal`es :
SiABC est un triangle, siE un point du segment [AB] etF un point du segment [AC], si la droite (EF) est parall`ele `a la droite (BC) alors
AE AB =AF
AC = EF BC
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6. R´ eciproque du th´ eor` eme de Thal` es
R´eciproque du th´eor`eme de Thal`es :
SiABC est un triangle, siE un point du segment [AB] etF un point du segment [AC], si de plus, on a l’´egalit´e des rapports
AE AB = AF
AC alors la droite (EF) est parall`ele `a la droite (BC).
Remarque : il suffit d’avoir l’´egalit´e de deux des rapports AE AB; AF
AC; EF
BC pour obtenir en conclusion que la droite (EF) est parall`ele `a la droite (BC), et qu’on a l’´egalit´e des trois
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7. Remarques
M´ethode :
Ecriture des rapports ´´ egaux dans le th´eor`eme de la Thal`es et sa r´eciproque
On ´ecrit l’´egalit´e des rapports en partant toujours du sommet commun aux deux triangles dessin´es
On ´ecrit toujours le rapport du ”petit” cˆot´e sur le ”grand” cˆot´e.
On ´ecrit aussi le rapport des cˆot´es parall`eles dans le mˆeme ordre : le ”petit” cˆot´e sur le
”grand” cˆot´e.
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Diff´erence entre le th´eor`eme de la Thal`es et sa r´eciproque :
La diff´erence entre le th´eor`eme et sa r´eciproque tient aux conclusions et aux hypoth`eses : Pour calculer une longueur, on utilise le th´eor`eme de Thal`es. On a besoin de connaˆıtre trois mesures, et de savoir que deux droites sont parall`eles.
Pour montrer quedeux droites sont parall`eles, on utilise la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es. On a besoin de connaˆıtre quatre mesures, et de montrer que le rapport de deux d’entre elles est identique.
On peut calculer la longueurM C grˆace au th´eor`eme de Thal`es si on sait que (AB)//(M N).
On peut montrer que (AB)//(M N) grˆace `a la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es si on montre que CM
CA =CN CB.
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On peut calculer la longueurM C grˆace au th´eor`eme de Thal`es si on sait que (AB)//(M N).
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On peut montrer que (AB)//(M N) grˆace `a la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es si on montre que CM
CA = CN CB.
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8. Exemples
Exercice 1 :
Montrer que la droite (ST) est parall`ele `a la droite (N P). En d´eduire la longueurN P.
Solution de l’exercice 1
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Exercice 2 :
Montrer que la droite (GH) est parall`ele `a la droite (M N). En d´eduire la longueurGH.
Solution de l’exercice 2
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Solution exercice 1 : M S
M N = 6 10 = 3
5 et M T M P = 9
15 = 3
5. Donc M S
M N = M T M P.
Dans le triangleM N P,S est un point du segment [M N] etT un point du segment [M P], et on a l’´egalit´e des rapports
M S
M N = M T M P
D’apr`es la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es, la droite (ST) est parall`ele `a la droite (N P).
Et puisque (ST) est parall`ele `a la droite (N P) on a , d’apr`es le th´eor`eme de Thal`es : M S
M N = M T M P = ST
N P Donc M T
M P = ST
N P entraˆıne 9
15= 8,1
N P. EtN P = 8,1×15
9 = 13,5. Retour vers l’´enonc´e.
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Solution exercice 2 : P H
P N = 6 16 =3
8 et P G P M = 4.5
12 = 9 24= 3
8. Donc P H P N = P G
P M.
Dans le triangleM N P,Gest un point du segment [M P] etH un point du segment [P N], et on a l’´egalit´e des rapports
P H P N = P G
P M
D’apr`es la r´eciproque du th´eor`eme de Thal`es, la droite (GH) est parall`ele `a la droite (M N).
Et puisque (GH) est parall`ele `a la droite (M N) on a , d’apr`es le th´eor`eme de Thal`es : P H
P N = P G
P M = GH M N Donc P H
P N = GH
M N entraˆıne 6
16= GH
8,8. EtGH= 8,8×6
16 = 3,3. Retour vers l’´enonc´e.
