Avatars du th´ eor` eme de plongement d’Assouad

Plongements fractionnaires Lien avec les empilements de boules Preuve du th´eor`eme de Naor et Neiman

Avatars du th´ eor` eme de plongement d’Assouad

P. Pansu

13 avril 2011

Plongements fractionnaires Lien avec les empilements de boules Preuve du th´eor`eme de Naor et Neiman

On d´ecrit le probl`eme du plongement d’espaces doublants dans des espaces euclidiens.

1 Assouad (1983) : plongement en dimension d´ependant de l’exposant.

2 Naor et Neiman (d´ecembre 2010) : plongement en dimension ind´ependante de l’exposant.

3 Lien avec avec les empilements de boules.

4 Thurston 1993, Benjamini et Schramm (1995-2010) : r´esultats sur les empilements de boules.

5 Preuve du th´eor`eme de Naor et Neiman.

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Dimension des plongements fractionnaires

D´efinition (Bouligand 1928)

La dimension m´etriquedim(X)d’un espace m´etrique X est la borne inf´erieure des d tels qu’il existe C tel que pour tout sous-ensemble a-s´epar´e Y ⊂X de diam`etre D,

|Y| ≤C(^D_a)^d.

Exemple

Rⁿ, Heisⁿ(n impair) ont une dimension m´etrique lin´eaire en n.

Remarque

Si X a un plongement bilipschitzien dans Y , alorsdim(X)≤dim(Y). Si X⁰= (X,d_X¹⁻), alorsdim(X⁰) = ₁₋¹ dim(X).

Th´eor`eme (Assouad 1983)

Pour tout∈(0,1)et d>0, il existe D(d, )et N(d, )tels que pour tout espace m´etrique X de dimension d , lam´etrique fractionnaire (X,d_X¹⁻)admet un plongement bilipschitzien dans l’espace euclidien`^N₂ de distorsion≤D.

Question

Donner des bornes optimales sur D and N.

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Dimension des plongements fractionnaires

Th´eor`eme (Gupta, Krauthgamer, Lee 2003 ; Lee, Mendel, Naor 2004) Dans le th´eor`eme d’Assouad, on peut prendre N≤O(^{dlog d})et D≤O(^√d).

Th´eor`eme (Naor, Neiman d´ecembre 2010)

Dans le th´eor`eme d’Assouad, on peut prendre, pour toutθ∈]0,1], N≤O(^d_θ)et D≤O((^d)^1+θ).

Remarque

A une constante pr`es, c’est optimal, car N≥^Hausdim(X)₁₋ ≥Ω(d).

Question

Dans des exemples, donner une meilleure borne inf´erieure sur la dimension du plongement.

Th´eor`eme (Kahane 1981, Assouad 1983) Pour l’espace euclidien(`^d₂,d_`¹⁻

2 ), la dimension de plongement optimale est le plus petit entier strictement sup´erieur `a ₁₋^d , i.e. N=b₁₋^d c+ 1.

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S´eparation CohomologieLp

D´efinition (Benjamini, Schramm)

Soit G un graphe. G estempilabledansR^d si G est le graphe d’incidence d’un empilement de boules dans`^d₂.

D´efinition (provisoire)

Soit G un graphe. G est k-empilabledansR^d si G est le graphe de k-incidence d’un empilement de boules dans`<sup>d</sup><sub>2</sub> (i.e. on relie une boule B `a toutes les boules qui intersectent kB).

Un espace m´etrique X est empilable dansR^d s’il est quasiisom´etrique `a un graphe k-empilable dansR^d.

Proposition

Soit X un espace m´etrique `a g´eom´etrie born´ee. Si X poss`ede un plongement fractionnaire dans`^d₂, alors X est empilable dansR^d.

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S´eparation CohomologieLp

En 1979, R. Lipton et R. Tarjan ont trouv´e un algorithme qui coupe en deux un graphe planaire en ˆotant au plus 2√

2nsommets. W. Thurston a propos´e une autre m´ethode, reposant sur le th´eor`eme de Koebe qui r´ealise toute triangulation du plan comme graphe d’incidence d’un empilement de disques. En voici la g´en´eralisation d-dimensionnelle.

Th´eor`eme (Miller, Teng, Thurston, Vavasis 1993-1998)

Soit G un graphe fini k-empilable dansR^d, `a n sommets. Alors il existe un sous-ensemble S de sommets de taille|S| ≤O(k n^(d−1)/d)qui s´epare G en deux sous-graphes de tailles≤^d+1

d+2n.

Cela motive la d´efinition suivante.

Th´eor`eme (Benjamini, Schramm)

Soit X un espace m´etrique `a g´eom´etrie born´ee. Las´eparationde X est la plus petite fonction sepX :R+→R+telle que tout sous-espace de volume n de X puisse ˆetre s´epar´e en deux morceaux de volume≤moiti´e par un ensemble S tel que

volume(S+ 1)≤sepX(n).

Exemple (Benjamini, Schramm) separbre(n) =O(1), sep

R^d(n) = Θ(n^(d−1)/d), separbre×arbre(n) = Θ(_lognⁿ ).

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S´eparation CohomologieLp

Notation

R_p¹(X) = cohomologieLpr´eduite en degr´e 1 =fonctions de gradient Lpmodulo l’adh´erence des fonctions Lp.

D´efinition

X est p-paraboliques’il existe des fonctions `a support compact u:X→R, valant1 sur un ouvert fix´e, et d’´energieR

|du|^parbitrairement petite.

Th´eor`eme (Benjamini, Schramm)

Si X est empilable dansR^d, alors ou bien X est d -parabolique ; ou bien R_d¹(X)est non nul.

Exemple

Si X=Cay(Γ), X est p-parabolique⇔Γest `a croissance polynˆomiale de degr´e d≤p.

Si X est un groupe de Lie, R_d¹(X)6= 0⇔X est hyperbolique etConfdim(∂X)≤d .

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S´eparation CohomologieLp

Aucun des exemples ci-dessus ne donne une borne inf´erieure pour la dimension de plongement fractionnaire meilleure que la dimension m´etrique. Par exemple, l’argument deMiller, Teng, Thurston, Vavasis 1993-1998s’´etend au groupe de Heisenberg et donne une s´eparationsep(n) =n^3/4. Les graphes autosimilaires diamant ou deLaaksosont planaires.

Question

Existe-t’il des espaces doublants X de dimension m´etrique d tels que sepX(n)n^(d−1)/d?

Pas sˆur.

Question

Un espace doublant de dimension m´etrique d est-il forc´ement p-parabolique pour tout p≥d ?

Cela paraˆıt probable.

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

La construction est un cas particulier de celle deAbraham, Bartal, Neiman 2008.

Pr´eliminaire.Assouad, Bretagnolle, Dacunha-Castelle, Krivine: on peut supposerX fini, diam`etre(X)<∞, dimension(X) =d.

Sch´ema de la preuve

Etant donn´eθ∈]0,1], on construit une distribution sur les applications F:X →`^N₂, N=d^d

θe. Toutes satisfont `a une estimation H¨older|F(x)−F(y)| ≤(^d)^1+θd(x,y).

L’in´egalit´e inverse est satisfaite avec probabilit´e non nulle.

Pouri∈N, soitsi= (_d)^iθ/(1−). SoitYi unsi-r´eseau deX. On tire ind´ependamment au hasardNrayonsR^k(y)∈[^s₄ⁱ,^s₂ⁱ] pour chaque pointy∈Yi. On constitueN partitions deX au moyen des boulesB(y1,R^k(y1)),B(y2,R^k(y2))\B(y1,R^k(y1)), ...

centr´ees surYi. Pour chaque pi`ecePde l’une de ces partitions, on tire au hasard un r´eelU(P)∈[0,1]. Pourx∈X, on noteP<sub>i</sub><sup>k</sup>(x) la pi`ece qui contientxet

f_i^k(x) =d d(x,X\P_i^k(x)).

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

La construction est un cas particulier de celle deAbraham, Bartal, Neiman 2008.

Pr´eliminaire.Assouad, Bretagnolle, Dacunha-Castelle, Krivine: on peut supposerX fini, diam`etre(X)<∞, dimension(X) =d.

Sch´ema de la preuve

Etant donn´eθ∈]0,1], on construit une distribution sur les applications F:X →`<sup>N</sup><sub>2</sub>, N=d<sup>d</sup><sub>θ</sub>e. Toutes satisfont `a une estimation H¨older|F(x)−F(y)| ≤(^d)^1+θd(x,y).

L’in´egalit´e inverse est satisfaite avec probabilit´e non nulle.

Pouri∈N, soitsi= (_d)^iθ/(1−). SoitYi unsi-r´eseau deX. On tire ind´ependamment au hasardNrayonsR^k(y)∈[^s₄ⁱ,^s₂ⁱ] pour chaque pointy∈Yi. On constitueN partitions deX au moyen des boulesB(y1,R^k(y1)),B(y2,R^k(y2))\B(y1,R^k(y1)), ...

centr´ees surYi. Pour chaque pi`ecePde l’une de ces partitions, on tire au hasard un r´eelU(P)∈[0,1]. Pourx∈X, on noteP<sub>i</sub><sup>k</sup>(x) la pi`ece qui contientxet

f_i^k(x) =U(P_i^k(x))ds_i⁻d(x,X\P_i^k(x)).

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

La construction est un cas particulier de celle deAbraham, Bartal, Neiman 2008.

Pr´eliminaire.Assouad, Bretagnolle, Dacunha-Castelle, Krivine: on peut supposerX fini, diam`etre(X)<∞, dimension(X) =d.

Sch´ema de la preuve

Etant donn´eθ∈]0,1], on construit une distribution sur les applications F:X →`<sup>N</sup><sub>2</sub>, N=d<sup>d</sup><sub>θ</sub>e. Toutes satisfont `a une estimation H¨older|F(x)−F(y)| ≤(^d)^1+θd(x,y).

L’in´egalit´e inverse est satisfaite avec probabilit´e non nulle.

Pouri∈N, soitsi= (_d)^iθ/(1−). SoitYi unsi-r´eseau deX. On tire ind´ependamment au hasardNrayonsR^k(y)∈[^s₄ⁱ,^s₂ⁱ] pour chaque pointy∈Yi. On constitueN partitions deX au moyen des boulesB(y1,R^k(y1)),B(y2,R^k(y2))\B(y1,R^k(y1)), ...

centr´ees surYi. Pour chaque pi`ecePde l’une de ces partitions, on tire au hasard un r´eelU(P)∈[0,1]. Pourx∈X, on noteP<sub>i</sub><sup>k</sup>(x) la pi`ece qui contientxet

f_i^k(x) =U(P_i^k(x))min{s_i¹⁻,d s_i⁻d(x,X\P_i^k(x))}.

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

On pose

F(x) = 1

√ N

∞

X

i=1

(f_i¹(x), . . . ,f_i^N(x)).

Lemme

On a toujours|F(x)−F(y)| ≤const.(^d)^1+θd(x,y)¹⁻.

On montre ais´ement que pour touti∈N,k∈[N],x,y∈X,

|f_i^k(x)−f_i^k(y)| ≤const.min{s_i¹⁻,d s_i⁻d(x,y)}.

En sommant suri, on utilise la majoration pard s_i⁻d(x,y) pouri≤logd(x,y), et la majoration pars_i¹⁻pouri plus grand. La somme est major´ee par

d(x,y) exp(−logd(x,y)) =d(x,y)¹⁻.

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

Pour chaquei∈N, on poseδi= (_d)^1/(1−)si et on choisit unδi-r´eseauNi deX. Soit El’´ev`enement “pour toutiet pour tousz,w∈Ni tels qued(z,w) soit de l’ordre de s_i, pour au moins la moiti´e des fonctionsf_i^k,

|

∞

X

j=1

(f_j^k(z)−f_j^k(w))|>s_i¹⁻.

Lemme

On a|F(x)−F(y)| ≥const.(_d)^2θd(x,y)¹⁻pourvu que l’´ev`enement E ci-dessus soit r´ealis´e.

En effet, choisiritel qued(x,y) soit de l’ordre desi. Approcherxetyparz,w∈Ni. Utiliser le fait queF est H¨older continue.

Dans la d´efinition deE, on peut clairement introduire la modification suivante : T(i,z,w) = “pour au moins la moiti´e des fonctionsf_i^k,

|

i

X

j=1

(f_j^k(z)−f_j^k(w))|>2s_i¹⁻.”

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Constante de H¨older Constante de H¨older inverse

Comme le graphe de d´ependance des ´ev`enementsT(i,z,w) a un degr´e born´e par (^d)^O(d)(c’est le nombre de points deNi dans une boule de rayonsi), pour minorer la probabilit´e deE, on utilise le Lemme Local de Lov´asz (en fait, la variante suivante).

Lemme (Abraham, Bartal, Neiman 2008)

Soient Av des ´ev`enements index´es par les sommets d’un graphe G de degr´e≤D. Sur G , on se donne une fonction de niveau V→Nqui est constante sur les composantes connexes. On suppose qu’il existe q tel que q(D+ 1)e≤1et pour tout v et tout ensemble Q de sommets dont aucun n’est un voisin de v , et tous ont un niveau≤`a celui de v ,

P(A^c_v∩ \

u∈Q

Au)≤qP(\

u∈Q

Au).

Alors, avec une probabilit´e non nulle, les Av se produisent simultan´ement.

Ici,v= (i,z,w), le niveau esti,Av =T(i,z,w). Il s’agit de montrer que

q= (_d)^θN/2convient. SiG´etait vraiment un graphe de d´ependance, ce serait simple.