4. Th´ eor` eme de convergence domin´ ee (TCD) et cons´ equences
1 Th´eor`eme de convergence domin´ee (TCD) de Lebesgue
2 Int´egrales d´ependant d’un param`etre
3 S´eries de fonctions
1. Th´ eor` eme de convergence domin´ ee (TCD) de Lebesgue
Th´eor`eme (TCD)
(Ω,A, µ) espace mesur´e. fn: Ω→Cmesurables telles que : (H1) convergence[pp]: fn−−−−−[pp]→
n→+∞ f
(H2) domination L1 : (∃g∈L1)(∀n∈N) |fn| ≤g [pp]
Alors on a : (i) f ∈L1 (ii) fn L1
−−−−−→
n→+∞ f, c’est-`a-dire : Z
|f−fn| −−−−−→
n→+∞ 0 En particulier : lim
n→+∞
Z fn=
Z f
D´emonstration.
|f−fn| ≤sup
k≥n
|f −fk| et Beppo Levi. . . .
2. Int´ egrales d´ ependant d’un param` etre
(Ω,A, µ) espace mesur´e.
J intervalle de R.
ϕ:J×Ω −→ C (t, x) 7−→ ϕ(t, x)
On supposera (∀t∈J) ϕ(t,·)∈L1(Ω)pour d´efinir :
Φ :J −→ C t 7−→ Φ(t) =
Z
Ω
ϕ(t, x)dµ(x)
Th´ eor` eme de continuit´ e
Th´eor`eme Supposons :
(H1) continuit´e[pp]: t7→ϕ(t, x) continue surJ, [pp].
(H2) domination L1 : (∃g∈L1)(∀t∈J) |ϕ(t,·)| ≤g [pp]
Alors : t7→Φ(t) =
Z
Ω
ϕ(t, x)dµ(x) est continue surJ.
Th´ eor` eme de d´ erivation
Th´eor`eme Supposons :
(H0) (∀t∈J) ϕ(t,·)∈L1(Ω)
(H1) d´erivabilit´e [pp]: t7→ϕ(t, x) d´erivable surJ, [pp].
(H2) domination L1 : (∃g∈L1)(∀t∈J)
∂ϕ
∂t(t,·)
≤g [pp]
Alors Φ est d´erivable surJ et
(∀t∈J) Φ0(t) = Z
Ω
∂ϕ
∂t(t, x)dµ(x)
3. S´ eries de fonctions
Th´eor`eme (de Lebesgue sur les s´eries)
(Ω,A, µ) espace mesur´e. fn: Ω→Cmesurables telles que :
∞
X
n=0
Z
|fn| <+∞
Alors on a : (i)
N
X
n=0
fn−−−−−→[pp]
N→+∞ S ∈C (ii) S ∈L1(Ω)
(iii)
N
X
n=0
fn−−−−−→L1
N→+∞ S, c’est-`a-dire : Z
S−
N
X
n=0
fn
−−−−−→
N→+∞ 0
En particulier :
Z ∞ X
n=0
fn
!
=
∞
X
n=0
Z fn
