Th´ eor` eme 4:

Formulaires: S´ eries et Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Proposition 1:

^{Soient q un r´eel et (v}n)_n∈N une suite num´erique. On a :

• X

(q)^k,X

k(q)^ketX

k(k−1) (q)^ksont convergentes si et seulement si|q|<1. Si|q|<1, on a :

+∞

X

k=0

(q)^k = 1 1−q,

+∞

X

k=1

k(q)^k = q (1−q)² et

+∞

X

k=2

k(k−1) (q)^k = 2q² (1−q)³.

• X

(v_n+1−v_n) est convergente si et seulement si la suite (v_n)_n∈N est convergente et dans ce cas, on a :

+∞

X

k=0

(v_k+1−v_k) = lim

n→+∞(v_n)−v₀.

• X qⁿ n!

est convergente et sa somme vaut exp(q).

• X

n>1

1 n^q

est convergente si et seulement si q >1. En particulier, X

n>1

1 n

est divergente etX

n>1

1 n²

est convergente.

Proposition 2:

^{Soit Xu}n une s´erie convergente. On alors lim

n→+∞(u_n) = 0. (Attention, cette condition n’est pas suffisante ! ! !)

Proposition 3:

SoientX

u_n une s´erie etn₀ un entier naturel non nul.X

u_n et X

n>n0

u_n

sont de mˆeme nature et, si X

u_n converge alors :

+∞

X

k=0

(u_k) =

n0−1

X

k=0

u_k

! +

+∞

X

k=n0

u_k. En particulier, si X

u_n converge alors (R_n)n∈N, la suite de ses restes, converge et converge vers 0 et, pour tout entier naturel n, on a : S_n+R_n =

+∞

X

k=0

(u_k) .

Th´ eor` eme 4:

^SoientXunune s´erie `a termes positifs et (S_N)N∈Nla suite de ses sommes partielles. (S_N)N∈N´etant une suite croissante, on en d´eduit que :

1. X

u_n converge si et seulement si (S_N)N∈N est major´ee.

2. Si (S_N)_N∈N est major´ee alors la s´erie X

u_n est convergente et, pour tout entier naturelN, on a :

S_N 6

+∞

X

k=0

u_k.

1

3. Si (S_N)N∈N n’est pas major´ee alors la s´erie X

u_n est divergente et

+∞

X

k=0

u_k = +∞.

Th´ eor` eme 5:

Soient X

un et X

vn deux s´eries `a termes positifs telles que : ∀n ∈ N, u_n6v_n.

1. Si X

v_n est convergente alors X

u_n l’est aussi et

+∞

X

n=0

u_n6

+∞

X

n=0

v_n.

2. Si X

u_n est divergente alorsX

v_n l’est aussi et

+∞

X

n=0

v_n = +∞.

Proposition 6:

^{Soient X}

n

u_n et X

n

v_n deux s´eries `a termes positifs.

• Siu_n ∼

+∞v_n alors X

n

v_n etX

n

u_n sont de mˆeme nature.

• Si u_n =

+∞ o (v_n) alors la convergence de X

v_n implique celle de X

u_n, la divergence de Xu_n implique celle de X

v_n.

Th´ eor` eme 7:

^{Soit Xu}n une s´erie. SiX

u_n est absolument convergente, i.e. siX

|u_n| est convergente, alors X

u_n est convergente. On a alors :

+∞

X

n=0

u_n

6

+∞

X

n=0

|u_n|.

Proposition 8:

Soient a un r´eel et b un r´eel strictement sup´erieur `a a. Soit f une fonction num´erique continue sur [a, b[. Si f est prolongeable par continuit´e en b alors l’int´egrale g´en´eralis´ee

Z b

a

f(t) dt converge. On parle d’int´egrale faussement impropre.

Proposition 9:

(Hors-programme, `a red´emontrer `a chaque fois !) Soit α un r´eel.

• Z +∞

1

dx

x^α est convergente si et seulement siα >1. Dans ce cas, on a Z +∞

1

dx

x^α = 1 α−1.

• Z 1

0

dx

x^α est convergente si et seulement si α <1. Dans ce cas, on a : Z 1

0

dx

x^α = 1 1−α.

• Z +∞

0

dx

x^α est donc toujours divergente.

Proposition 10:

Soient a un ´el´ement de R^?+∪ {+∞ } et f une fonction num´erique continue sur ]−a, a[.

• Si f est paire alors Z a

−a

f(t) dt converge si et seulement si Z a

0

f(t) dt converge et, dans ce cas, on a :

Z a

−a

f(t) dt= 2× Z a

0

f(t)dt.

• Si f est impaire alors Z a

−a

f(t) dt converge si et seulement si Z a

0

f(t) dt converge et, dans ce cas, on a :

Z a

−a

f(t) dt = 0.

2

Th´ eor` eme 11:

^{Soient a un r´eel et b un ´el´ement de}R∪ {+∞ }strictement sup´erieur `a a. Soit f une fonction num´erique continue et positive sur [a, b[. F :x 7→

Z x

a

f(t)dt

´

etant une fonction croissante, on en d´eduit que :

1.

Z b

a

f(t)dt converge si et seulement si F est major´ee.

2. Si F n’est pas major´ee alors Z b

a

f(t) dt est divergente et Z b

a

f(t) dt diverge vers +∞.

Th´ eor` eme 12:

^{Soient b un r´eel et a un ´el´ement de} R∪ { −∞ } strictement inf´erieur `a b. Soit f une fonction num´erique continue et positive sur ]a, b]. F :x 7→

Z b

x

f(t) dt

´

etant une fonction d´ecroissante, on en d´eduit que :

1.

Z b

a

f(t)dt converge si et seulement si F est major´ee.

2. Si F n’est pas major´ee alors Z b

a

f(t) dt est divergente et Z b

a

f(t) dt diverge vers +∞.

Th´ eor` eme 13:

^{Soient f et g} deux fonctions num´eriques positives et continues sur un intervalle I d’extr´emit´es a etb avec a un ´el´ement de R∪ { −∞ } et b un ´el´ements de R∪ {+∞ } strictement sup´erieur `aa. On suppose quef 6g surI.

1. Si Z b

a

g(t)dt est convergente alors Z b

a

f(t)dt l’est aussi et Z b

a

f(t) dt6 Z b

a

g(t)dt.

2. Si Z b

a

f(t) dt est divergente alors Z b

a

g(t) dt l’est aussi et Z b

a

g(t) dt diverge vers +∞.

Proposition 14:

^{Z +∞}

−∞

exp

−t² 2

dt converge et vaut √ 2π.

Proposition 15:

^{Soient aun r´eel et b un ´el´ement de} R∪ {+∞ }strictement sup´erieur

`

a a. Soient f et g deux fonctions num´eriques continues et positives sur [a, b[.

• Sif(x)∼

b g(x) alors Z b

a

f(t) dt et Z b

a

g(t)dt sont de mˆeme nature.

• Sif(x) =

b o (g(x)) alors la convergence de Z b

a

g(t)dt entraˆıne la convergence de Z b

a

f(t)dt, la divergence de

Z b

a

f(t) dt entraˆıne la divergence de Z b

a

g(t) dt.

3