Universit´e Paris Descartes
UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres 75270 Paris cedex 06
Licence 1`ere ann´ee, 2012-2013,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)
Feuille de TD n
◦4 :
D´ erivabilit´ e d’une fonction num´ erique
Exercice 1 Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? D´emontrer chaque assertion correcte et donner un contre-exemple pour chaque assertion fausse.
(1) Une fonction continue en x0 est d´erivable en x0. (2) Une fonction d´erivable enx0 est continue enx0.
(3) Une fonction d´erivable sur un intervalleI a une d´eriv´ee continue surI.
(4) Si deux fonctions ont leurs d´eriv´ees ´egales sur un intervalle ouvert, alors elles sont ´egales sur cet intervalle.
(5) Si les nombres d´eriv´es d’une fonction `a gauche et `a droite existent en un point, alors la fonction est d´erivable en ce point.
(6) Si une fonction paire est d´erivable, alors sa d´erive est impaire.
Exercice 2 Calculerf0(x0) en utilisant la d´efinition du nombre d´eriv´e dans chacun des cas suivants : (1)f(x) =√
2 +x (2)f(x) =x3+ 3x (3)f(x) = x x+ 1. Exercice 3 Calculer, lorsqu’elle est d´efinie, la d´eriv´ee des fonctions suivantes :
(1)f(x) = sin(cosx) (2)f(x) = exp(2xln(x)) (3)f(x) =√
1 +x2+ 2x4 (4)f(x) = x+ln(x)x−ln(x) (5)f(x) = tan(√
1−x2) (6)f(x) = exp(exp(x11)−1 x)+1
(7)f(x) = (1 +x)x2
Exercice 4 Soitn∈N∗. Pour toutx∈R, on posePn(x) = 1 +x+x2+· · ·+xn. (1) Pour tout x6= 1, donner une expression de Pn(x) sous forme de fraction rationnelle.
(2) En d´eduire une expression sous forme de fraction rationnelle de la sommeSn(x) = 1 + 2x+ 3x2+· · ·+ nxn−1 pour toutx6= 1.
Exercice 5 Calculer la d´eriv´een-i`eme des fonctions suivantes : (1) f(x) = sin(x),
(2) f(x) =xk pourk∈N, (3) f(x) = √1x,
(4) f(x) = exp(x)x . Exercice 6
(1) D´eterminer si l’application suivante est d´erivable surR: f(x) =
(x−1)2 si x6−1,
−4x si x >−1.
(2) D´eterminer les r´eels aet bpour que l’application suivante soit d´erivable surR: f(x) =
x2−x+ 1 si x>2, (ax+b)2 si x <2.
Exercice 7 Soit f : R∗ →R la fonction d´efinie par f(x) = x2sin(x1) pour tout x6= 0. Montrer que f est prolongeable par continuit´e en 0. On note encoref la fonction prolong´ee. Montrer quef est d´erivable surR, mais quef0 n’est pas continue en 0.
Exercice 8 Calculer les limites suivantes : (1) lim
x→0
exp(x)−1
x (2) lim
x→0
ln(1 + sinx) x (3) lim
x→2
exp(x)−exp(2)
x2+x−6 (4) lim
x→−1
sin(1 +x) x2−x−2
1
2
Exercice 9 On consid`ere l’application
f : ]−13,+∞[ −→ ]23,+∞[
x 7−→ 2x+13x+1 (1) Montrer quef est strictement d´ecroissante.
(2) Montrer quef r´ealise une bijection de ]−13,+∞[ dans ]23,+∞[. D´eterminer sa r´eciproque, not´eef−1. (3) Calculer la d´eriv´ee de f−1 en utilisant la formule de la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque. V´erifier le
r´esultat par le calcul direct de la d´eriv´ee de f−1. Exercice 10 Soitf la fonction d´efinie surRpar
f(x) =
0 si x= 0,
exp(−x12) si x6= 0.
(1) Justifier quef est de classeC∞ surR∗.
(2) Calculer l’expression des d´eriv´ees d’ordre 1, 2 et 3 def sur R∗. (3) Montrer quef est d´erivable surRet pr´eciser la valeur def0(0).
(4) Montrer par r´ecurrence que pour tout n >1 et tout x 6= 0, f(n)(x) = Pxn3n(x)exp(−x12) o`u Pn est un polynˆome dont on pr´ecisera le degr´e et le coefficient dominant.
(5) Montrer quef est de classeC∞surRet calculerf(n)(0) pour toutn∈N∗.
Exercice 11 Soitgune fonction d´efinie et deux fois d´erivable sur l’intervalle [a, b] telle que g(a) =g(b) = 0.
Soitx0∈]a, b[, et on poseA= (x 2g(x0)
0−a)(x0−b). Montrer qu’il existe α∈]a, b[ tel queA=g00(α). (Indication : on pourra ´etudier la fonction g1 d´efinie par g1(x) =g(x)−A2(x−a)(x−b).)
Exercice 12 Montrer les encadrements suivants `a l’aide du th´eor`eme des accroissements finis : (1) sin(x)6xpourx>0,
(2) 1−exp(−x)x <1 si x >0.
Exercice 13 Le but de l’exercice est d’´etudier la bijection r´eciproque de la fonction tangente.
(1) Montrer que la fonction tan :]−π2,π2[→Rest d´erivable et strictement croissante. D´eterminer ses limites en−π2 et π2.
(2) En d´eduire que tan r´ealise une bijection de ]−π2,π2[ dansR. On note arctan sa bijection r´eciproque.
(3) Calculer la d´eriv´ee de la fonction arctan.
(4) Montrer que, pour tout xnon nul,
arctan(x) + arctan(1
x) = sgn(x)π 2 avec sgn(x) =
1 six >0
−1 six <0 .
Exercice 14 Soientxety r´eels avec 0< x < y.
(1) Montrer que
x < y−x lny−lnx < y.
(2) On consid`ere la fonctionf d´efinie sur [0,1] par
α7→f(α) = ln(α x+ (1−α)y)−αlnx−(1−α) lny De l’´etude def, d´eduire que pour tout αde ]0,1[,
αlnx+ (1−α) lny <ln(α x+ (1−α)y).
Interpr´etation g´eom´etrique ?
Exercice 15 Soit f une fonction d´efinie sur ]a, b[ et valeurs r´eelles. D´eterminer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
(1) Soit x0∈]a, b[ tel quef0(x0) = 0, alorsx0est un extremum local.
(2) Sif admet un extremum local enx0, alorsf0(x0) = 0.
Exercice 16 Soitf une fonction de classeCn sur ]a, b[ s’annulant en n+ 1 points distincts. Montrer qu’il existe un pointx0∈]a, b[ tel quef(n)(x0) = 0. (Indication : on proc´edera par r´ecurrence.)
