Exemple 89. La fonction f : x �→ x2 est deux fois dérivable sur R, et a pour dérivée et dérivée seconde surR :
f�(x) = 2x et f��(x) = 2
Puisque sa dérivée seconde est positive surR, la fonction f est convexe sur R.
En un point x0 où la dérivée seconde f�� d’une fonction f change de signe, le graphe de cette fonction traverse sa tangente. Par exemple si f�� est positive avant x0 alors f est convexe avant x0 et donc son graphe est au-dessus de ses tangentes, et si f�� est négative après x0 alorsf est concave aprèsx0 et son graphe est au-dessous de ses tangentes : dans ce cas, le graphe def est au-dessus de sa tangente au point (x0, f(x0)) avantx0 et au-dessous après, donc il "traverse" sa tangente en ce point.
On donne un nom particulier à ce type de points :
Définition 51. Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, un point x0 de I est appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f�� change de signe au pointx0.
Exemple 90. Si on considère la fonction sinus sin :x�→sin(x) alors elle est deux fois dérivable sur [0,2π] et sa dérivée seconde est sin��(x) = −sin(x) qui change de signe en π : sur [0,π] la dérivée seconde −sin est négative et donc sin est concave, et sur [π,2π] cette dérivée seconde est positive et donc sin est convexe. Au point x0 = π, la tangente de sin est y= (−1)∗(x−π) + 0 et le graphe de sin passe donc de au-dessous de sa tangente à au-dessus :
x y
y= sin(x)
y=π−x
4.6.5 Tracé du graphe d’une fonction
En vue de tracer le graphe d’une fonction numériquef, on procède selon les étapes suivantes :
— on détermine le domaine de définition def;
— on calcule les limites de f aux bords de son domaine de définition ;
— on étudie les asymptotes éventuelles de f en −∞et +∞;
— on calcule la dérivée f� et on donne le tableau de variations de f, en faisant apparaitre les extrema (locaux et/ou globaux) ;
— on calcule la dérivée secondef��, on étudie son signe pour déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave, et on trouve les points d’inflexion.
— enfin pour tracer le graphe def on reporte les asymptotes, les directions asymptotiques, les tan- gentes horizontales aux points oùfatteint un extremum et les tangentes aux points d’inflexion : on a alors suffisamment d’indications pour tracer l’allure du graphe.
x y
y=e−x2
5 Intégrale et primitive
5.1 Intégrale d’une fonction continue
Soit aet bdeux nombres réels tels quea < b, et soitf une fonction continue sur le segment [a, b], le graphe def, l’axe des abscisses et les droites verticalesx=aetx=bdélimitent une région du plan (qui peut être en plusieurs morceaux si f s’annule), représentée en gris dans l’exemple ci-dessous :
x y
y=f(x)
a b
On peut associer à cette région du plan comprise entre le graphe de f et l’axe des abscisses son aire signée : on dit signée parcequ’on compte en positif l’aire de la zone qui se trouve au-dessus de l’axe des abscisses, et en négatif la partie qui se trouve au-dessous.
Exemple 91. On considère par exemple le casa =−1, b= 2 etf(x) =x. L’aire signée de la partie du plan comprise entre le graphe def(x) =xet l’axe des abscisses sur [−1,2] vaut alors 32 :
y=x
x
y l’aire du petit triangle sous l’axe des abscisses est égale à 12, elle est comptée pour −12, et l’aire du grand triangle au-dessus de l’axe des abscisses est égale à 2, elle est comptée pour +2. L’aire signée vaut donc −12 + 2 =32.
Comme on va le voir, cette aire signée a une grande importance en mathématiques, c’est pour cette raison qu’on introduit la notion suivante :
Définition 52. Soit a etbdeux nombres réels tels que a < bet soitf une fonction continue sur le segment [a, b], on appelle intégrale de f sur le segment [a, b] l’aire signée de la partie du plan qui se trouve entre le graphe de la fonctionf sur[a, b]et l’axe des abscisses. On note ce nombre � b
a f(t)dt.
Remarque 40. Par convention on pose� a
a f(t)dt= 0, et sia < b alors la notation� a
b f(t)dtdésigne le nombre−
� b
a f(t)dt.
Soita < b et soit f une fonction continue sur le segment [a, b], alors :
— Relation de Chasles : pour tout c∈[a, b] on a
� b
a f(t)dt=� c
a f(t)dt+� b
c f(t)dt
— Intégrale d’une constante : si α est un nombre réel fixé et f(x) = α pour toutx∈[a, b] alors
� b
a f(t)dt=� b
a αdt=α(b−a)
— Si gest continue sur [a, b] etf(x)≤g(x) pour toutx dans [a, b] alors
� b
a f(t)dt≤
� b
a g(t)dt
En particulier, simetM sont deux constantes telles quem≤f(x)≤M pour toutx∈[a, b] alors
m≤ 1
b−a
� b
a f(t)dt≤M Le nombre 1
b−a
� b
a f(t)dt est appelévaleur moyenne de f sur[a, b].
— Lien avec la parité : on suppose a ≥0, si f est une fonction paire sur [−a, a] alors �
a
−af(t)dt= 2� a
0 f(t)dt et si f est impaire sur [−a, a] alors� a
−af(t)dt= 0.
Exemple 92. Si on reprend l’exemple 91, commef(x) =xalors on a−1≤f(x)≤2 pour toutxdans [−1,2] et on voit que la valeur moyenne de f sur [−1,2], qui vaut 1
2−(−1)
� 2
−1f(t)dt= 1 3 × 3
2 = 1 est bien entre −1 et 2. 2
Une autre manière de définir l’intégrale de f sur [a, b] est la suivante : on associe à la fonctionf la suite (In)n≥1 de terme général
In = b−a n
n�−1 k=0
f
�
a+kb−a n
�
Géométriquement,Inest la somme des aires desnrectangles construits à partir def de la manière suivante :
x y
y=f(x)
a b
Exemple 93. Si on reprend à nouveau l’exemple 91 on a alors b−a = 2−(−1) = 3 et on peut calculer
I1 = 3 1f
�
−1 + 0× 3 1
�= 3f(−1) = 3×(−1) =−3
I2 = 3 2f
�
−1 + 0× 3 2
�+ 3 2f
�
−1 + 1×3 2
�= 3
2f(−1) + 3 2f
�1 2
�=−3 4 I3 = 3
3f
�
−1 + 0× 3 3
�+ 3 3f
�
−1 + 1×3 3
�+ 3 3f
�
−1 + 2×3 3
�
= f(−1) +f(0) +f(1) = 0 In = 3
n
n�−1 k=0
f
�
−1 +k3 n
�= 3 n
n�−1 k=0
�
−1 +k3 n
�
= 3
n
�n−1
�
k=0
(−1) + 3 n
n−1�
k=0
k
�
= 3 n
�
−n+ 3 n
(n−1)n 2
�= 3 2 − 9
2n Dans ce cas la suite (In)n≥1 est la suite de terme généralIn= 32− 2n9.
On peut démontrer que la suite (In)n≥1 ainsi définie est toujours convergente, et plus précisément que sa limite est l’aire signée de la partie du plan qui se trouve entre le graphe de la fonction f sur [a, b] et l’axe des abscisses : c’est donc l’intégrale def sur [a, b]. On a alors la propriété :
5.2. Propriété – Intégrale 2.
Soita < b et soit f une fonction continue sur le segment [a, b], alors :
� b
a f(t)dt = lim
n→+∞
b−a n
n�−1 k=0
f
�
a+kb−a n
�
Exemple 94. On reprend l’exemple 91 : dans ce cas, puisque la suite (In)n≥1 est la suite de terme généralIn = 32− 2n9 on voit que sa limite est bien 32, qui est effectivement l’aire signée de la partie du plan comprise entre le graphe def(x) =xet l’axe des abscisses sur [−1,2].
