x ) en fonction de sin( 3 x

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. Pour un x réel, exprimer sin(3x) en fonction de sin(x) et de cos(x) puis en fonction de sin(x) seulement.

2. En déduire, pour k ∈ N ^∗ , une expression de sin( ₃

^x ) en fonction de sin( ₃ ^x

) . 3. Simplier, pour n ∈ N ^∗ ,

n

X

k=1

3 ^k sin ³ ( x 3 ^k )

Corrigé

1. En utilisant la formule du binôme puis en prenant la partie imaginaire, on obtient :

(cos x + i sin x) ³ = cos ³ x + 3i cos ² x sin x − 3 cos x sin ² x − 3i sin ³ x

⇒ sin(3x) = 3 cos ² x sin x −3 sin ³ x = 3(1− sin ² x) sin x − 3 sin ³ x = 3 sin x − 4 sin ³ x 2. En remplaçant x par ₃ ^x

, on obtient

sin x

3 ^k−1 = 3 sin x

3 ^k − 4 sin ³ x 3 ^k 3. Multiplions par 3 ^k−1 la relation précédente :

3 ^k−1 sin x

3 ^k−1 = 3 ^k sin x

3 ^k − 4 × 3 ^k−1 sin ³ x 3 ^k Si on pose s k = 3 ^k sin ₃ ^x

, cela s'écrit

3 ^k sin ³ x 3 ^k = 3

4 (s _k − s _k−1 ) On en déduit

n

X

k=1

3 ^k sin ³ ( x 3 ^k ) = 3

4 (s n − s 0 ) = 3

4 (3 ⁿ sin x

3 ⁿ − sin x)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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