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x sin 3 x dx

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Mai 2007

Calculer l’intégrale définie :

( )

4

I

0

x sin 3 x dx

= ∫

π

Analyse

Une intégration par parties s’impose …

Résolution

Introduisons les fonctions u et 'v telles que :

• ∀ ∈x \, u x

( )

=x ;

• ∀ ∈x \, 'v x

( )

=sin 3

( )

x .

On obtient immédiatement : ∀ ∈x \, 'u x

( )

=1 ;

Comme primitive de 'v on peut considérer la fonction v définie par :

( )

1

( )

, cos 3

x v x 3 x

∀ ∈\ = − .

Dans ces conditions, les fonctions considérées étant continues, on a, en procédant à une intégration par parties :

( )

( ) ( )

( )

( )

4

0

4 4

0 0

4 0

I sin 3

cos 3 1 cos 3

3 3

3 1 1

cos 0 sin 3

12 4 3 3

2 1 3

sin 0

24 9 4

2 2

24 18

4 3 2

72 x x dx

x x x dx

x

π

π π

π π π

π π

π π

=

⎡ ⎤

= −⎢⎣ ⎥⎦ +

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= − ⎜⎝ ⎟⎠+ + ⎢⎣ ⎥⎦

⎛ ⎞

= + ⎜⎝ ⎟⎠−

= +

= +

∫

∫

(2)

PanaMaths Mai 2007

Pour fixer les idées :

(

4 3

)

2

0, 2637 72

π

+ (valeur approchée à 10−4).

Résultat final

( ) ( )

4

0

4 3 2

I sin 3 x x dx 72

π + π

=

∫

=

Références

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