Z R e2iπmxϕ(x)dx, ϕ7

Répétition du cours d’Analyse III, 2e partie 3ème BM

31 Mars 2011

1. Les distributions dans R suivantes sont-elles tempérées ? En calculer alors la trans- formée de Fourier.

uf₁, uf₂ uf₃, uf₄,

oùf₁(x) =C (C ∈C),f₂(x) =xⁿ (n ∈N⁰),f₃(x) =e^−x, f₄(x) = e^iπx. 2. On pose

u₁ = 1

2(δ₁ +δ−1) et u_m =um−1∗u₁ ∀m≥2.

(a) Exprimer u_m (m ∈ N0) en termes d’une combinaison linéaire de distributions de Dirac.

(b) Si cela a un sens, calculer la transformée de Fourier de u_m pour tout m ∈ N⁰. Démontrer qu’il s’agit d’une distribution associée à une fonction de classe C∞

surR.

3. Soient les fonctionnelles définies par

ϕ7→

+∞

X

m=−∞

Z

R

e^2iπmxϕ(x)dx, ϕ7→

+∞

X

m=−∞

ϕ(m)

et notées respectivement

+∞

X

m=−∞

e^2iπmx,

+∞

X

m=−∞

δ_m.

(a) Comparer P+∞

m=−∞e^2iπmx et P+∞

m=−∞δ_m dans D⁰(R).

(b) Déduire du point (a) que l’on a

2π

+∞

X

m=−∞

δ_∓2πm=

+∞

X

m=−∞

F^±δ_m

dans D⁰(R).