X ˙ = P r (Y − X), Y ˙ = −XZ + rX − Y, Z ˙ = XY − bZ.

Mathématiques

appliquées et numériques

Liene 3, Dpt Géosienes

Année 2011-2012, 2e semestre

Présentation synthétique du ours

Janvier Juin 2012

Cours donné en

3 ^e

année de Liene de Sienes de la planèteTerre

par Mihael Ghilet Jean Roux

TD par Mohamadou Diallo

Éole normalesupérieure, Paris

Onzième ours

Le modèle de Lorenz et ses appliations à la

onvetion atmosphérique.

11.1 Importane du modèle de Lorenz.

Le système de trois EDO non linéaires que nous étudions dans e ours a

été proposé par E. N. Lorenz en 1963. Il a une importane onsidérable

pour deux raisons omplémentaires l'une de l'autre. Tout d'abord pare

que'estun modèle paradigmatique pour les omportements haotiques,et

onnu omme tel à travers les sienes physiques, de la vie et même soio-

éonomiques. Et après, de manière plus spéique pour la météorologie,

arilaété lepremierexemple montrant l'impossibilitéthéorique deprédire

le temps au-delà d'un nombre ni de jours. Cette limite théorique de la

prévisibilité est de l'ordre de 10 à 15 jours, mais la prévision détaillée du

temps reste bien en deçà, même pour les modèles numériques à très haute

résolution disponibles surlesordinateurs ultra-puissantsd'aujourd'hui.

Le systèmemodélise, de manière très simpliée, un phénomène de on-

vetion: unuidequipourrait-êtrel'air,l'eau,unuidederefroidissement

,esthauépardessousparuneplaque,jusqu'audéveloppement delaon-

vetion ; dans le as de l'atmosphère, la plaque hauante" serait le sol

soumis aurayonnement solaire. Selon l'intensité duhauage, l'éoulement

onvetif peut-être plus ou moins régulier : pour un hauage faible il est

laminairedansl'espae etonstant oupériodique dansletemps tandis que,

pour un hauage susamment intense, il devient irrégulier dans l'espae

aussibienquedansletemps.

Ce omportement irrégulier pour un systèmeà faible nombre de degrés

delibertéquoique soupçonnédéjà parH.Poinaré àlandu

19 ^e

^sièle,

aété unegrande surprise danslesannées 1960 et70 : en eet, lessolutions

expliites d'EDO sont toutes assez lisses et on s'attendait plutt au même

type de omportement pour des solutions d'autres EDO,quoique obtenues

numériquement. Quiplusest,onassoiaitlesirrégularitésdeomportement

exlusivementavelesinterations detrèsnombreusespartiules,ommeA.

Einsteinl'avaitdémontré en 1905 pour lemouvement brownien.

Ce type deomportement pour les solutions d'unsystèmedéterministe,

surtout de faible dimension, a été don appelé haotique. Comme nous le

verrons,ilestaratérisépar unegrandesensibilitéauxdonnéesinitiales et,

de e fait, par une perte de prévisibilitéen temps ni, quoiqueles solutions

existent et sont uniques pour tous les temps. Naturellement le modèle de

Lorenzn'est qu'uneidéalisation delaréalitémétéorologique: larotationde

laTerre, l'interation oéan-atmosphère, les nuages, la glae des ples et

donla grandehétérogénéitéde l'albédo delasurfae de laTerre ,nesont

Laréalitéphysiqueestdonbienplusomplexe,maisdéjàlessolutionsdu

modèledeLorenzprésententunegrandevariétédeomportementsquenous

ne pourrons qu'eeurer ii. Des entaines de publiations sesont penhées

suremodèleet,enoreaujourd'hui,ilestl'objetdetravauxatifs. Lestraits

les plus frappants de son omportement haotique ont été numériquement

observés par Lorenz mais la preuve mathématiquement rigoureuse de son

existenen'aétéfaitequ'en1999parW.Tuker(voirlivrepourlaréférene).

11.2 Le modèle lassique de Lorenz

Étantdonnél'importanedeemodèle,laonstrutiondeemodèle,àpartir

deséquations de le physique, est faite en détails dans le livre. Finalement,

onarrive aumodèle deLorenz :

 



X ˙ = P r (Y − X), Y ˙ = −XZ + rX − Y, Z ˙ = XY − bZ.

(11.2.1)

La variable

X

^représente l'intensité des rouleaux de onvetion, tandis quelesvariables

Y

^et

Z

^{sontlesomposantes}horizontaleetvertiale,respe- tivement,dugradientdetempérature. Lestroisparamètresquiapparaissent

dans les équations sont : le nombre de Prandtl

P r

^{, qui est le rapport non-}

dimensionnel entre la visosité inématique et la diusion thermique ; le

nombre

r

^{qui est} proportionnel au nombre de Rayleigh

R

^;

b

^{quiest liéà la}

longueurd'ondehorizontale

q

^{(voirremarque11.2.2). LenombredeRayleigh}

R

^{représentelerapport}non-dimensionnelentreleforçagethermiqueetladis- sipation,méaniqueautantquethermique. Cesparamètressontévidemment

tousstritement positifs.

Dans es formules

˙Ξ

^{désigne ladérivée de la variable}

Ξ

^{par rapport au}

tempsnondimensionnel

e t

^{(f. livre). La}non-linéaritéapparaîtparlestermes quadratiques

XY

^et

XZ

^,quireprésententl'interationentrel'éoulementet laottabilitédu uide.

Remarque11.2.1. Onvérieque lesystèmedeLorenzest invariantparla

symétrie

(X, Y, Z) → (−X, −Y, Z)

^{, 'est-à-dire parunerotationde}

π

^autour

del'axe

Oz

^.

Remarque 11.2.2. La onstrution du modèle de Lorenz impose des on-

traintes sur les valeurs des paramètres. Par exemple

b = 4π ² /(π ² + q ² ) ≤ 4

(voir livre) ; Lorenz a hoisi

b = 8/3

^{dans ses}simulations numériques.

Remarque11.2.3. Le système(11.2.1)estuneapproximationrelativement

grossière du système omplet d'équations aux dérivés partielles, ependant

ertains omportements des solutions du système de Lorenz sontprohes de

eux que l'on observe expérimentalement en thermoonvetion, pour

r

^su-

11.3 Étude qualitative du modèle de Lorenz

11.3.1 Premièrespropriétésdessolutionsdusystème(11.2.1)

Commeindiqué préédemment,laquestion de l'existeneet de l'uniitédes

solutionsdee systèmepour tousles tempsestompliquéeetdépasselarge-

ment le adre de e ours. Par ontre on veut étudier le omportement

asymptotiquede lasolution

~u(t) = (X(t), Y (t), Z (t))

^lorsque

t → ∞

^etei

pour desvaleursarbitraires maisxes desparamètres.

Opérons dans (11.2.1) le hangement de variable

X → X

^,

Y → Y

^et

Z → Z + r + P r

^{,lesystèmedevient}

 



X ˙ + P r X − P r Y = 0 Y ˙ + P r X + Y + XZ = 0 Z ˙ + bZ − XY = −b(r + P r )

.

^(11.3.1)

Considéronsleproduitsalaireusueldans

R ³

^,ainsi

(~u, ~u) = X ² +Y ² +Z ²

^,

etla norme assoiée, que nous notons

|.|

^{. On a}

|~u| ² = (~u, ~u)

^et

d|~u| ² /dt = 2X X ˙ + 2Y Y ˙ + 2Z Z ˙

^.

Parunesimpleanalyse(voirlivre)onmontreque

lim sup _t →∞ |~u(t)| ≤ ρ 0

pourunertain

ρ 0

^dépendantessentiellementde

b

^,

r

^et

P _r

^{. Ladynamiquedu}

système est don ontenue asymptotiquement dans la boule fermée

B ρ 0 = B(0, ρ 0 )

^de

R ³

^{. Pour}

t

^{susamment grand les} trajetoires sont onnées

danslaboule

B _ρ 0

^{,une telle bouleest appelée une boule} absorbante.

Cettenotion de boule absorbante estliée àelle d'attrateur.

Dénition 11.3.1. Un attrateur est unensemblefermé

A

satisfaisantaux propriétés suivantes

1)

A

^{est un ensemble invariant : toute trajetoire}

~u(t)

^{partant dans}

A

reste dans

A

^{pour tout}

t

^.

2)

A

^{attire unensemble ouvert dedonnées initiales,} 'est-à-dire qu'il ex- iste un ensemble ouvert

U

^ontenant

A

^{tel que si}

~u(0) ∈ U

^{, alors la}

distane de

~u(t)

^à

A

^{tend vers zéro lorsque}

t → ∞

^{. Cela signie que}

A

^{attire toutesles} trajetoires quipartentsusamment près delui. Le plusgrandde es ensembles

U

^{est appelé lebassin} d'attrationde

A

^;

3)

A

^{est minimal : il n'existe pasde} sous-ensemble stritement plus petit que

A

^{tel que les onditions}

(1)

^et

(2)

^soient satisfaites.

D'aprèsl'analysedontnousfaisonsmention, ilestlairquesi

~u(0) ∈ B ρ 0

alors

~u(t) ∈ B ρ 0

^pourtout

t > 0

^{. L'item}

(2)

^{de ladénitiond'unattrateur}

estaussivériéarilestlairaussique

B _ρ 0

^{attiretoutesles}trajetoiresquel quesoit

~u(0) ∈ R ³

^,'est-à-direque

U = R ³

^{. Parontre}

B ρ 0

^{n'estpasminimal}

: les expérienes numériques de Lorenz et de beauoup d'autres après lui

A

^{du système (11.3.1) est un ensemble beauoup plus petit et que, pour}

ertaines valeurs des paramètres, il a une struture très ompliquée. Nous

en reparlerons plus tard. Ce type d'attrateur a été appelé étrange par D.

Ruelle etF.Takens.

11.3.2 Les solutions stationnaires.

Nous poursuivons notre étude du omportement du système de Lorenz en

utilisantles tehniquesduours no10préédent : d'abordles solutionssta-

tionnaires (pointsxes)etl'étudedeleur stabilité. Ensuite nousétudierons

lessolutions périodiques(yleslimites) ave l'examende leurstabilité. Fi-

nalement,grandenouveauté,nousexamineronslessolutionsapériodiquesou

haotiques, qui habitent l'attrateur étrange.

NotreparamètredebifurationseralenombrerelatifdeRayleigh

r

^{. Nous}

verrons eneet que

r = 1

^{seralepremier point de}bifuration.

Calulons d'abord les solutions stationnaires. La première équation du

système(11.2.1)donne

X = Y

^{etlatroisièmeentraînealorsque}

Z = XY /b = X ² /b

^{. La seonde équation permet d'érire que}

−X ³ /b + rX − X = 0

^{, e}

quidonnelestroisraines

X = 0

^,

X = ± p

b(r − 1)

^{. Notons}

S = p

b(r − 1)

^,

leradiande estpositifsi

r ≥ 1

^.

•

^Si

X = 0

^alors

Y = Z = 0

^{pour tout}

r

^{. C'est un état ou seule la}

ondution opère etiln'y apasde onvetion.

•

^Si

X = ±S

^,alors

Y = ±S

^et

Z = S ² /b = r − 1

^pour

r ≥ 1

^.

D'où lesétats d'équilibre

•

^Condution:

(X, Y, Z ) = (0, 0, 0)

^pourtout

r

^{. C'estlabranhetriviale}

desolutions notée

~u = ~ 0

^.

•

^{Convetion :}

C ^± = (X ^± , Y ^± , Z) = (±S, ±S, r − 1)

^pour

r ≥ 1

^{. Ce}

sont lesdeux branhesnon triviales,où surhaune desdeux

X = Y

^.

Les deux branhes onvetives bifurquent, omme nous le verrons i-

dessous,àpartirdelabranhetriviale en

r = 1

^{: vulasymétriementionnée}

préédemmentdansleséquations (11.2.1), nousnousattendons àunebifur-

ation defourhe (voirParagraphe 10.1.2 duours no10).

11.4 Stabilité de la branhe stationnaire triviale

~ 0

.

L'étape suivante dans ladémarhe est ladétermination de lastabilité (voir

ours no 10) des branhes de solutions trouvées i-dessus. Pour e faire,

alulonsd'abord lamatriejaobienne du système(11.2.1) :

J =





−P r P r 0

−Z + r −1 −X

Y X −b



 .

^(11.4.1)

PSfragreplaements

[u]

0

r = 1 r = r 0

r

Figure11.1: Leslignesentiretsindiquentlesportionsdebranhedesolutions

stationnaires instables,les lignesen pointillés lesyles limitesinstables.

Lestroisvaleurspropres

(µ 1 , µ 2 , µ 3 )

^{deettematrie sontdonnées, pour}

lasolutiontriviale

(X, Y, Z) = (0, 0, 0)

^{, par}

det(J − µI) = {µ ² + (P r + 1)µ + P r (1 − r)}(µ + b) ;

ils'ensuit immédiatement que

µ 3 = −b < 0

^{. La matrie jaobienne anées-}

sairement une raine réelle négative. Lesdeux autres valeurs propres

µ 1

^et

µ 2

^{sont les raines du fateur polynmial du seond degré et satisfont aux}

relations

µ 1 + µ 2 = −(P r + 1) < 0

^et

µ 1 µ 2 = P r (1 − r)

^{; ellessont données}

par

µ 1 , 2 = − 1

2 (P r + 1) ± 1 2

p (P r + 1) ² + 4P r (r − 1).

Le radiandeeststritement positifsi

r > 1 − (P r + 1) ² /(4P r ) = −(P r − 1) ² /(4P _r )

^{et les raines sont alors réelles. De plus, pour}

r < 1

^{, il est lair}

queles valeurspropres

µ 1

^et

µ 2

^{sont négatives. Au total pour}

0 < r < 1

^les

trois valeurs propres sont réelles négatives et la branhe triviale est stable

: la solution

~u = ~ 0

^{est un puits. A ontrario, pour}

r > 1

^{, lavaleur propre}

µ 1

^{qui orrespond au hoix du signe}

+

^{dans la formule i-dessus , est}

positiveetlabranhe trivialeestdoninstable. Labranhetrivialepossède,

de e fait, un point de bifuration fourhe

(~u = ~ 0, r = 1)

^{où naissent les}

deuxbranhesdesolutionsstationnaires onvetivesetnontriviales:

C ^± = (X ^± , Y ^± , Z) = (±S, ±S, r − 1)

^pour

r ≥ 1

^{- Figure 11.1.}

Remarque 11.4.1. La notation

[u]

^{de la Figure 11.1 désigne une mesure}

salaire de la solution

~u = (X, Y, Z) ^T

^{qui n'est pas} néessairement une norme. Cette mesure

[u]

^{est ruiale à la bonne leture des phénomènes}

dans tout diagramme de bifuration, mais il n'y a pas de hoix idéal. En

pratique, il faut s'eorer de hoisirun

[u]

^{qui mette en évidene autant de}

propriétés des branhes de solutions individuelles que possible.

11.5 Stabilité des branhes onvetives

C ^±

.

Étudionsmaintenantpour

r > 1

^{lastabilitédesdeuxbranhesnontriviales,}

e qui revient à étudierle signe de haunedes valeurs propres réelles ou

alors de leur partie réelle si lavaleur propre est imaginaire, de lamatrie

jaobienne(11.4.1)assoiéeàhaune desbranhes. Considéronslabranhe

positive

C ⁺

^{. La matrie jaobienne} orrespondante, notée

J ⁺

^{, s'érit pour}

toutesolution lelongde ette branhe

J ⁺ =





−P r P _r 0

1 −1 −S

S S −b



 ;

^(11.5.1)

le paramètre de branhement

r

^{est ahé dans}

S

^{. Calulons les valeurs}

propres de

J ⁺

^{,ellessont solutions del'équation}

µ ³ + (P r + 1 + b)µ ² + (b + bP r + S ² )µ + 2P r S ² = 0.

^(11.5.2)

N.B. : On a vu (Remarque 11.2.1) que le modèle de Lorenz est invariant

par la symétrie

(X, Y, Z) → (−X, −Y, Z)

^{; or la branhe}

C ⁻

^{, dans ette}

symétrie, est symétrique de

C ⁺

^{. L'étude de la stabilité de la branhe}

C ⁻

est don identique à elle de la branhe

C ⁺

^{. On peut voir aussi que les}

oeientsdu polynme en (11.5.2), dont les raines

µ

^{donnent la stabilité}

dees branhes, dépendent seulement de

S ²

^{etnon pasde}

±S

^.

Considérons le polynme aratéristique (11.5.2) dont les raines sont

les valeurs propres de la matrie jaobienne pour la branhe positive

C ⁺

des solutions stationnaires. C'est un polynme de degré impair possédant

toujoursuneraineréelle. Étantdutroisièmedegré,ilexistedeuxpossibilités

pour esraines. Ces deuxpossibilitéssont :

i) lestroisraines

µ 1

^,

µ 2

^et

µ 3

^{sont réelles ;}

ii) uneraine

µ 3

^{estréelle, lesdeuxautresraines}

µ 1 = α + iβ

^et

µ 2 = µ 1

sontomplexesonjuguées,arlesoeientsde l'équationsontréels.

Remarque 11.5.1. La partie réelle

α

^{des valeurs propres} imaginaires on- juguées va jouer un rleimportant dans la suite.

Ceilaissesupposer,sileasii)existe,qu'ilpeutexisterunebifuration

deHopf(voiroursno10). Montronsl'existened'unpointdebifurationde

Hopf. La stabilité des solutions stationnaires onvetives, pour

1 < r < r 0

^,

seraune onséquene - unpeuinattendue - delapreuve e etteexistene.

11.5.1 Existene d'une bifuration de Hopf ?

On rappelle (théorème 10.3.1 du paragraphe 10.3 du ours no 10) les trois

onditionsnéessairesd'unebifurationdeHopf. Onnotepar

µ(r) = α(r) +

iβ(r)

^{unevaleur propredu jaobien}

f _y

^.

Considéronsunesolutionstationnaire

y 0

^de

f

^{etunevaleurduparamètre}

r 0

^tellesque

1)

f (y 0 , r 0 ) = 0

^(ar

y 0

^{est une solution}stationnaire),

2)

f _y (y 0 , r 0 )

^{aunepairedevaleurspropres} imaginairespures, soit

µ ± (r 0 )

= ±iβ(r 0 )

^,

3) (Conditionde transversalité)

(d(Reµ(r))/dr)| _r = r 0 = α ^′ (r 0 ) 6= 0

^.

Alorsilyaen

(y 0 , r 0 )

^{naissanedeyleslimites. Lapériodeinitiale(de}

l'osillation d'amplitudenulle)est

T 0 = 2π/β(r 0 )

^.

Cherhonsl'éventualitéde l'existened'unpoint debifurationde Hopf.

Il faut trouver une valeur

r 0

^{du paramètre}

r

^{- qui doit être} néessairement supérieur ou égal à

1

^{ar pour}

r < 1

^{il n'existe qu'une solution station-}

naire nulle dite triviale - pour laquelle les trois onditions préédentes sont

satisfaites.

La première deesonditions est trivialement satisfaiteen nousplaçant

sur l'une des branhes onvetives

C ^±

^{. Pour vérier la deuxième, soit le}

polynmearatéristique(11.5.2),ilpeuts'érire

P (µ) = µ ³ − Σ 1 µ ² + Σ 2 µ − Σ 3

^où

Σ 1 = µ 1 + µ 2 + µ 3

^{est la trae de la matrie jaobienne (11.4.1),}

Σ 2 = µ 1 µ 2 + µ 1 µ 3 + µ 2 µ 3

^et

Σ 3 = µ 1 µ 2 µ 3

^{est le}déterminant de ette ma- trie. Alorsla ondition néessaired'existene d'un point de bifuration de

Hopf,où lespetrea laforme

sp(J ⁺ ) = (iβ, −iβ, µ 3 )

^,est:

Σ 1 Σ 2 = Σ 3 .

^(11.5.3)

Eneet,plaçons-nousdansleasii) del'existened'unepairederaines

omplexes onjuguées et supposons

α = 0

^{. Il vient}

Σ 1 = µ 3

^,

Σ 2 = β ²

^et

Σ 3 = β ² µ 3

^,d'où

Σ 1 Σ 2 = Σ 3

^{. La relation (11.5.3) est don néessaire pour}

l'existened'unepaire de rainesimaginaires onjuguées pures.

D'après (11.5.2),ona :

 



Σ 1 = −(P r + 1 + b), Σ 2 = (r + P r )b, Σ 3 = −2P r b(r − 1).

(11.5.4)

Lemme 11.5.1. Il existe toujours uneraine réelle

µ 3

^{stritement négative}

pour

r > 1

^.

Preuve : Tousles oeientssont positifs. Comme

Σ 3 < 0

^{,si onest dans}

le as ii) alors

µ 1 µ 2 = µ 1 µ ¯ 1 = |µ 1 | ² > 0

^{et don}

µ 3 < 0

^{, si on est dans le}

asi)une (resp. trois)raine(s) est(resp. sont)néessairement négative(s).

Danstous lesaslaonlusion suit.

Selon(11.5.3)et(11.5.4),uneonditionnéessaired'existened'unepaire

deraines imaginaires puresest don

(P r + 1 + b)(r + P r )b = 2P r (r − 1),

^(11.5.5)

soit

r 0 = P r (P r + 3 + b)

P r − b − 1 .

^(11.5.6)

Si

P r ≤ b + 1

^{il n'ya auunevaleur positive du paramètre}

r

satisfaisant à(11.5.6). Ilfaut même,de plus, que

r 0 ≥ 1

^{. Nous}supposeronsdon quele nombre dePrandtl

P r

^{estassez large,soit}

P r > b + 1

^alors néessairement

r 0 > 1

^ar

P _r /(P _r − b − 1) > 1

^ave

(P _r + 3 + b) > 1

^{. Ave ette dernière}

ondition, pour

r = r 0

satisfaisant à (11.5.6), il peut apparaître un yle limite.

On sait déjà que

α(r 0 ) = 0

^{, ar}

r 0

^{a été alulé pour que les valeurs}

propres soient imaginaires pures pour ette valeurde

r

^.

Il nous reste à vérierla ondition (3) de transversalité. Un alul élé-

mentaire (voir livre) montreque :

α ^′ (r 0 ) = (P r − b − 1)b

2[b(r 0 + P r ) + (P r + b + 1) ² ] .

^(11.5.7)

Lorsque

P r > b + 1

^{on vérie}trivialement que

α ^′ (r 0 ) > 0

^{,etlaondition}

detransversalitéestsatisfaite.

Finalement pourlavaleur

r 0

^{duparamètrenousavonsdon,surhaune}

desbranhesstationnaires onvetives, une bifuration de Hopf.

11.5.2 Suite de l'étude de stabilitédes solutions onvetives.

Comme annoné on peuten déduire desrésultats de stabilité dessolutions

stationnairesnontriviales

C ^±

^{. Laonditiondepositivitédeladérivée}

α ^′ (r)

en

r = r 0

^{entraîne que la partie réelle}

α

^{de la valeur propre}

µ 1,2 = α ± iβ

roît ave

r

^{au voisinage de}

r 0

^{. Puisque}

α(r 0 ) = 0

^{il s'ensuit que, pour}

r

susamment prohe de

r 0

^,

α(r) < 0

^et

α(r) > 0

^pour

r > r 0

^{, tandis que}

β 6= 0

^{. Labranhe}

C ⁺

^{,ainsique labranhe}

C ⁻

^{, de solutions} stationnaires, au moins loalement, 'est-à-dire autour de

r 0

^{, est stable pour}

r < r 0

^ar

α(r) < 0

^{etdevientinstable aprèslepassagepar}

r 0

^ar

α(r) > 0

^,'est-à-dire

queles valeurs propres imaginaires onjuguées ont, pour

r > r 0

^{,une partie}

réellepositive.

Faisons un premier point. Si

P r < b + 1

^{il n'y a auune valeur positive}

du paramètre

r

satisfaisant à (11.5.6) etles deux solutions onvetives sta- tionnaires

C ^±

^{qui n'existent que pour}

r > 1

^{, sont stables pour toute}

valeurde

r > 1

^{. Pour}

P r > b + 1

^et

r 0 > 1

^,l'instabilité desétats onvetifs apparaîtpourlavaleur

r = r 0

^{du paramètreet'estlàquenaîtunebranhe}

desolutions périodiques,à partirde haune dessolutions onvetives

C ^± .

Une étude (voir livre) plus ne est néessaire pour déider, sur tout

l'intervalle

1 < r < r 0

^{, d'une part des valeurs de}

r

^{pour lesquelles les}

raines de (11.5.2) sont réelles ou omplexes onjuguées, d'autre part des

signesdesvaleurspropres réellesou despartiesréelles

α(r)

^desrainesom-

plexes. Ondémontrequ'ilexiste

r ^∗

^{tellequepour toutevaleurde}

r

^vériant

1 < r ^∗ < r < r 0

^{, les deux branhes non triviales}

C ^±

^{sont attratives (e}

que nous savions déjà loalement), ar, plus préisément, pour haune de

esbranhes,pouresvaleursde

r

^{nousavonsalors une valeurpropre réelle}

négativeetunepairedevaleurspropresimaginairesonjuguéesàpartieréelle

négative. Depluspour

1 < r < r ^∗

^{lestroisvaleurspropressontréelles néga-}

tives. Nousen onluonsquepourtoute valeur de

r

^telleque

1 < r < r 0

^les

deuxbranhes onvetives

C ^±

^{sont stables.}

Paronséquent,étant donnél'instabilité delabranhe stationnairenulle

dansl'intervalle

1 < r < r 0

^{,unesolutionquidémarreprèsdel'originedevrait}

s'enrouler autour de

C ⁺

^{ou de}

C ⁻

^.

Enn, omme on sait que la branhe triviale est toujours instable pour

r > 1

^,pour

r > r 0

^et

r

^{prohe de}

r 0

^{lestrois branhes d'états}stationnaires sont instables(voir Figure11.1).

Résumonsette première étudede stabilitédes branhes

C ^±

^.

Ces branhesne peuvent être instablesque si

r > r 0

^{,en supposant que}

P r

^et

b

^{sont tels que}

r 0

^{existe et}

r 0 > 1

^.

Ces branhessont stables sietseulement si

(a)

P r < b + 1

('est-à-direque

r 0

^{n'existe pas)et}

r > 1

^,

ou alors

(b)

P r > b + 1

⁽

r 0

^existe)et

1 < r < r 0

^.

Remarque 11.5.2. Pour

P r = 10

^et

b = 8/3

^{, on vérie que}

P r > b + 1

^{, la}

bifuration de Hopfapparaîtpour

r 0 = 470/19 = 24.74

^{(voir (11.5.6)).}

Remarque11.5.3. Nousvenonsdevoirqu'aupointdebifurationdeHopf,

les valeurs propres omplexes sont

µ 1 , 2 = ±iβ(r 0 )

^{, ave}

β(r 0 ) 6= 0

^{. On peut}

supposer, sans perte de généralité, que

β(r 0 ) > 0

^{. La période initiale de la}

solutionpériodique voirledébutduparagraphe11.3.4 ,est

T = 2π/β(r 0 )

^.

11.6 Sous-ritiité de la bifuration de Hopf.

CequipréèdeneditriensurlanaturedelabifurationdeHopfen

r = r 0

^{. Il}

naîtdessolutions périodiques ene point,maisleur stabilité voirle ours

10 pour la dénition de ette stabilité , reste à déterminer. En d'autres

mots, ette bifuration de Hopf est-elle sur- ou sous-ritique (voir le ours

10 pour les dénitions etl'analyse) ? S'iln'y a nipoint xe stable niyle

limite stable au-delà de

r = r 0

^{, quel est le} omportement du modèle pour

r > r 0

^?

Quesepasse-t-il aupointdebifurationdeHopf,pour

r

^{légèrement plus}

grand que

r 0

^{? Si la bifuration de Hopf était} surritique, haque solution stationnairedesbranhes nontriviales

C ^±

^{seraitenerlée d'unylelimite}

stable. Mais ela n'est pas leas ar, numériquement, il s'avèrequ'ave les

valeurs des paramètres hoisies par Lorenz

P r = 10

^et

b = 8/3

^{, on ne}

onstateauunesolutionpériodiquestablepour

r

^{légèrementplusgrandque}

r 0

^.

Maisalorsd'oùviennentlesorbitespériodiquesdontonamontrél'existen-

e? Lorenza onjeturé,grâeà sesaluls, qu'ellesdoivent naître pour un

r

^telque

1 < r < r 0

^,'est-à-direquelabifurationdeHopfestsous-ritique.

C'est-à-dire que, pour haque branhe, un yle limite instable qui existe

pour

r < r 0

^{,disparaît pour}

r = r 0

^{au point} d'équilibre en lui transmettant soninstabilité pour

r > r 0

^.

Cependant e n'est pas toujours le as, ela dépend des valeurs de

P r

et

b

^{. La preuve rigoureuse du} omportement sur- ou sous-ritique 'est- à-dire de la stabilité ou de l'instabilité des orbites périodiques, issues de la

bifuration de Hopf , selon les valeursdu ouple de paramètres

(P r , b)

^{, se}

trouve dans Marsden, MaCraken (voir biblio). Pour les valeurs standard

P r = 10

^et

b = 8/3

^{,pourlesquelleslesrésultatssontprésentés,labifuration}

esteetivement sous-ritiquepour

r 0 = 24.74

^.

Leportraitdephasequiorrespondàeasestexhibéàlapartiegauhe

de la Figure 11.3 et les branhes de solutions périodiques instables pour

r < r 0

^{sont montrées en pointillés danslaFigure11.1.}

11.7 Comportement du modèle pour

r > r ₀

LediagrammepartieldebifurationdanslaFigure11.1,basésurlesrésultats

mentionnés i-dessus, montre qu'il n'y a pas d'attrateur stable, du type

point xeou ylelimite,pourdesvaleursde

r

^{prohesde,mais}supérieures à,

r = r 0

^{. Pour}

r > r 0

^les trajetoires peuvent éventuellement évoluer vers un attrateur éloigné qui est toujours, néessairement, dans la boule

absorbante

B _ρ 0

^{, mais qui, au moins dans un voisinage de}

r 0

^, devrait-être plusomplexe qu'unattrateur trivialdutype point xeouunyle limite.

Maisquepeut-ilêtre ?

Sepourrait-ilependant qu'ilexisteunylelimitestablequenousigno-

rons? Lorenz donne un argument heuristique etastuieux, appuyé sur des

résultats numériques, préisant que, pour

r > r 0

^{et légèrement plus grand}

que

r 0

^{, tout yle limite serait instable. Lorenz a hoisi la valeur}

r = 28

pour ses expérienesnumériques. Cet argument onsiste d'abord à intégrer

lesystèmesurunelongueduréeetàrepérersurlaourbe

t → Z (t)

^lesmax-

imaloauxsuessifs

{Z 0 , Z 1 , · · · , Z _n , Z _n +1 , · · · }

^.

Lorenzdénit unefontion

Z n+1 = f (Z n )

^{,- dite}l'appliation deLorenz.

300 350 400 450

300 350 400 450

PSfragreplaements

Z n

Z n +1

Z ^∗ f (Z ^∗ )

Figure 11.2: La ligne en pointillés indique la ourbe stylisée (un usp)

Z → f (Z ),

^{laligne en traitplein désigne la première bissetrie. La ourbe}

stylisée est obtenue pour les valeurs standards

P r = 10

^et

b = 8/3

^{. Pour}

b/P r

^{trèspetit,etteourbeestomposéedemultiples uspstrèsétroits(C.}

Sparrow, Chapitre 8,page 174),la disussionestalors plus omplexe.

Ononstruit le graphede ette fontion eton onstatevisuellement,sur la

Figure 11.2, que

|f ^′ (Z )| > 1

^{et quela première bissetrie oupe laourbe}

f (Z)

^{en un point}

Z ^∗

^{unique tel que}

f (Z ^∗ ) = Z ^∗

^,l'appliation

f

^{adon un}

point xe.

Lasuitedes

{Z _n }

^{peutêtretrèsompliquéeetilnefautpaslaonfondre}

ave la suite générée par l'algorithme de Piard - du ours no 1 - de alul

d'unpoint xe d'unefontion

f

^{ontinue et} lipshitzienne, ar à la fois

Z n

et

Z _n +1

^{sont des données. Deplus, remarquons que, même interprétéde e}

pointdevue,laonvergenevers

Z ^∗

^{estimpossiblear}

|f ^′ (Z)| > 1

^pourtout

Z

^{. Cependant on peutse poser laquestion de la stabilité de}

Z ^∗

^{pour ette}

appliation.

Supposonsqu'ilexisteunylelimite,'est-à-direunesolutionpériodique

isolée ; on a alors

Z l = Z l+1 = Z l+2 = · · · = Z ^∗

^{pour un ertain indie}

l

^{, ar les maxima sont les mêmes d'une période à l'autre. Ce yle limite}

orresponddonàl'existened'uneorbiteferméeassoiéeà

Z ^∗

^. Considérons unetrajetoire légèrement perturbée de ette orbite assoiée à

Z ^∗

^,telleque

Z n = Z ^∗ + η n

^où

η n

^{estpetit. Après} l'habituelle linéarisation, on a

η n+1 = f ^′ (Z ^∗ )η _n

^{. Puisque}

|f ^′ (Z )| > 1

^{, il vient}

|η _n +1 | > |η _n |

^{. La déviation}

|η _n |

augmentant àhaque itération, lasolution périodique 'est-à-dire l'orbite

fermée quiyest assoiée dansl'espae desphases ,estinstable.

Remarque11.7.1. Insistons sur lefaitque e résultatd'instabilité est vrai

pour

r > r 0

^{qui n'est pas trop éloigné de}

r 0

⁽ⁱⁱ

r = 28

^{). Des expérienes}

numériques indiquent que lesystème a un yle limite globalement attratif

PSfragreplaements

v 3

v 1

v 2

Figure 11.3: La gure de gauhe est assoiée à

r < r 0

^{, elle de droite à}

r > r 0

^{. Laligne en tiretssur lagauhe indiqueleylelimite instable.}

pour tout

r > 313

^{(voir Sparrow, Chapitre 7).}

11.8 Un attrateur étrange.

Grâe à e qui préède on peut donner une desription qualitative de la

dynamiquepour

r 0 < r ≪ 313

^{. Commeiln'yapasdepointxeoudeyle}

limitestablepour

r > r 0

^etvoisinde

r 0

^{,elaveut-ildirequeles} trajetoires sont rejetées à l'inni lorsque

t → ∞

^{? Non, ar on a vu, à la setion}

11.3.1, que les trajetoires restent onnées dans la boule absorbante

B ρ 0

^.

De plus, dès que

r > r 0

^{, on a vu qu'en haque point de}

C ⁺

^{, le système}

linéarisé a deux valeurs propres omplexes onjuguées

µ 1 , 2 = α(r) ± iβ(r)

ave des parties réelles

α(r)

^{positives auxquelles on assoie deux veteurs}

propres

~v 1

^et

~v 2

^{, etune valeur propre réelle}

µ 3 < 0

^{- voir lemme 11.5.1 - à}

laquelleonassoieunveteurpropre

~v 3

^{. Desortequelesorbites}avoisinantes spiralent en s'éartant du point xe sur

C ⁺

^{dans le plan engendré par}

~v 1

et

~v 2

^{, qu'on appellera la variété instable, par ommodité, sans entrer dans}

les ompliations d'une dénition préise. Dans lemême temps es orbites

approhent le point xe dans une diretion parallèle à

~v 3

^{, qu'on appellera}

la variété stable. Ce omportement est illustré dans la partie droite de la

Figure11.3.

La situationestidentiqueprèsde

C ⁻

^{. Ainsiles}trajetoiresontunom- portement non trivialà longterme: onsait numériquement que lasolution

~u(t)

^{approhe de}

C ⁺

^{en suivant savariétéstable, puisspirale en}s'éloignant selon sa variété instable et va ensuite vers

C ⁻

^{suivant la variété stable de}

C ⁻

^{, et ainsi de suite. Les} trajetoires sont rejetées d'un objet instable

Figure11.4: L'attrateurdeLorenz. FigurepubliéegrâeàlaourtoisiedeJean-

FrançoisColonnadulaboratoireLatammedel'ÉolePolytehnique.

point xe ou ylelimite ,à unautre, alors qu'elles sont onnées dansla

boule absorbante

B _ρ 0

^{;voirlaFigure 11.4.}

Lenombredespiralesdéroulantesexistantesdanshaquevariétéinstable

varie de façon imprévisible d'un passage près de

C ⁺

^ou

C ⁻

^{à l'autre. La}

séquene du nombre de iruits a beauoup de aratéristiques d'une suite

aléatoire. Lorsquelatrajetoire estvueentroisdimensions, elleapparait se

déployer sur un ensemble extrèmement n, dont la projetion sur un plan

qui passe par l'axe des

Z

^{ressemble à une paire d'ailes de papillon. Cet}

ensembleestpréisément l'attrateur deLorenz.

Ce type d'attrateur bien plus omplexe qu'un point xe, un yle

limite ou même un tore , est un attrateur étrange selon la terminologie

introduite par Ruelle et Takens en 1971. Un attrateur étrange est assoié

à un système dont les solutions sont aratérisées par leur sensibilité aux

données initiales, 'est-à-dire que deux trajetoires issues de deux données

initialesvoisines

~u 0

^et

~u 0 +~ǫ

^disons,pour

k~ǫk

^{petit,divergentrapidement}

l'unedel'autresurl'attrateur,avedesfuturstotalementdiérentsl'unde

l'autre. C'est ette sensibilité aux données initiales qui donne le omporte-

ment irrégulier des solutions du modèle de Lorenz et d'autres modèles non

linéairesdéterministes,maishaotiques. Unattrateur étrangemontredela

sensibilitéauxonditions initiales.

Cette sensibilité s'explique par l'existene d'un exposant de Lyapounov

positif ; et exposant généralise aux systèmes non linéaires la notion de

valeur propre réelle et positive d'un système linéaire. On trouve, en eet,

numériquementquel'éart

δ~u(t)

^surl'attrateurdedeuxpointsonsidérés au même instant

t

^{, sur deux} trajetoires séparées initialement par l'éart

δ~u(0)

^{,seomporte omme}

kδ~u(t)k ≈ kδ~u(0)ke ^λt

^où

λ = 0.9

^{estl'exposant}

deLyapounovpositifdu système,les deuxautres étant négatifs.

Une autrepropriété importante del'attrateur de Lorenzest qu'ilaune

dimensionfratale, 'est-à-direnonentière, elleestomprise stritement en-

1

PSfragreplaements

[u]

r r 0

r 1

Figure 11.5: Résumé suint du omportement du systèmede Lorenz pour

de petites valeursde

r

^{, en selimitant à la branhe triviale, ondutive età}

la branhe onvetive

C ⁺

^{. Les lignes en tirets indiquent les points xes et}

lesyles limites instables.

tre 2 et 3. Cette dimension ne peut pas être 2, ar les seuls attrateurs

possibles en dimension 2 sont les points xes et les yles limites stables.

C'est unrésultat lassiquede la théoriedes systèmes dynamiques quenous

admettons évidemment dans e ours. Cette dimension ne peutpas être 3

nonplus, arlevolume

V (t)

^de l'attrateurtend exponentionnellement vers zérolorsque

t → ∞

^{(voir livrepour une} justiation).

L'attrateur étrange du système (11.2.1) est don un ensemble fratal,

dont levolumeestnulmaisde surfaeinnie. Onpeutdéniretdéterminer

la dimension d'un ensemble fratal. Des expérienes numériques indiquent

queladimension de l'attrateur étrangede (11.2.1) estde l'ordre de

2.05 ± 0.01

^.

Ce qui préède est une approhe très simpliée de l'étude de e modè-

le, dont le but prinipal est de susiter la uriosité du leteur et de le ou

la motiver pour poursuivre, plus généralement, l'étude des omportements

haotiques dansles sienesde laplanète etdelavie. Demanière plusspé-

ique,que sepasse-t-il,par exemple, en-dehorsdesvaleursdesparamètres

utilisés i-dessus ? Mais aussi nous n'avons pas exploré, même ave es

valeursstandard, l'ensembledesphénomènes possibles.

Lorsque

r

^{déroît à partir de}

r 0

^{, les yles limitesinstables, naissant au}

pointdebifurationHopfsous-ritique,sedilatentetpassentdeplusenplus

prèsdupoint-sellesurlabranheondutive

~u = ~ 0

^{. Pourlesvaleursstandard}

de

P r = 10, b = 8/3

^{et pour}

r 1 = 13.926

^{, es yles touhent l'origine et}

deviennent desorbites homolines, 'est-à-diredesorbites qui partent de et

arrivent aumême point xe,qui estl'origine

~ 0

^{en l'ourrene. Pour}

r < r 1

il n'y a plus de yle limite (Figure 11.5). On voit que l'analyse détaillée

du système demande un examen approfondi pour lequel nous renvoyons à

Sparrow.

Bibliographie :

(1) E. N. Lorenz, Deterministi nonperiodiow. J. Atmos. Si., 20, 130-

141,1963.

(2) J.E. Marsden & M. MCraken, The Hopf Bifuration and Its Applia-

tionsAppl. Math. Sienes, vol. 19,Springer-Verlag,1976.

(3) C. Sparrow, The Lorenz equation : Bifurations, Chaos, and Strange

Attrators,Appl. Math. Sienes, vol. 41,Springer-Verlag, 1982.

(4)W.Tuker,TheLorenzattratorexists,C.R.Aad. Si. Paris,328(12),

1197-1202,1999.