D1967. La saga des quatre centres
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C. Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q.
1er épisode : on suppose que A est le centre du cercle. Quelles sont les courbes décrites par les 4 centres des cercles inscrit et exinscrits à APQ ?
La droite δ parallèle à la droite BPQ, passant par A, coupe le cercle (C) suivant le diamètre P'Q'.
Le point K diamétralement opposé à P sur (C) est aussi symétrique de Q par rapport à δ.
Les arcs P'Q et P'K sont égaux, les angles inscrits QPP' et KPP' sont égaux.
Les bissectrices de l'angle APQ sont donc les droites perpendiculaires PP' et PQ'.
PAQ est un triangle isocèle, et les bissectrices de PÂQ sont δ et sa perpendiculaire en A.
P' et Q' sont deux des trois centres des cercles exinscrits pour le triangle PAQ.
Courbes décrites par P' et Q' :
Si B est intérieur au cercle (C) ou sur (C), P' et Q' décrivent (C)
Si B est extérieur à (C), P' et Q' décrivent deux arcs de (C). La droite AB est axe de symérie pour chacun de ces deux arcs.
Soient I le centre du cercle inscrit, et A' le centre du cercle exinscrit dans l'angle A pour le triangle PAQ. Soit H le milieu de la corde PQ. Choix de coordonnées polaires avec origine en A . Soient α la mesure de l' angle BÂH . Et soient R le rayon de (C), et b la longueur AB. On a AH = b.cosα . Recherche de l'équation polaire F(ρ,α) = 0 des courbes décrites par I et A' :
D'une part I et A' sont conjugués par rapport au cercle (C) donc AI.AA' = R² D'autre part (A,H,I,A') sont en division harmonique et 2/AH = 1/AI + 1/AA' soit 2/(b.cosα) = (AI + AA') / R² d'où AI + AA' = 2R² / (b.cosα) .
F(ρ,α) = ρ² – 2R² ρ / (b.cosα) +R² = 0 . En coordonnées cartésiennes on obtient :
x² + y² – 2(R²/b).x.(1 + (y/x)²) + R² = 0 (x² + y²)(x – 2R²/b) + R²x = 0
C'est l'équation d'une cubique circulaire passant par A et symétrique par rapport à la droite AB, x = 2R²/b est l'équation de l'asymptote. A' décrit la partie de la courbe extérieure à (C), et I décrit la partie intérieure à (C).
EN PAGE 2 : courbes obtenues avec R constant et diverses valeurs de b .
La strophoïde droite est obtenue pour b = R, c'est à dire quand le point B est sur le cercle (C).
