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5.6 Calcul du centre et du rayon du cercle x

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Academic year: 2022

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5.6 Calcul du centre et du rayon du cercle x

2

+ y

2

− 10 x + 16 = 0

x

2

− 10 x + 25

| {z }

(x−5)2

− 25 + y

2

+ 16 = 0 (x − 5)

2

+ y

2

= 25 − 16 = 9 = 3

2

C(5 ; 0) et r = 3

1) La droite est tangente au cercle si δ(C ; d) = r : m · 5 − 0

p m

2

+ ( − 1)

2

= | 5 m |

√ m

2

+ 1 = 3 On obtient ainsi 5 m = ± 3 √

m

2

+ 1

En élevant au carré les termes de cette égalité, on a : 25 m

2

= 9 (m

2

+ 1)

16 m

2

− 9 = 0

(4 m + 3) (4 m − 3) = 0

On conclut que la droite et le cercle sont tangents si m = −

34

ou m =

34

. 2) La droite et le cercle se coupent si δ(C ; d) < r.

On doit donc avoir √ | 5 m |

m

2

+ 1 < 3.

Puisque √

m

2

+ 1 > 0, cette inéquation équivaut à | 5 m | < 3 √

m

2

+ 1.

En élevant au carré les membres de cette inégalité, on arrive à : 25 m

2

< 9 (m

2

+ 1)

16 m

2

− 9 < 0

(4 m + 3) (4 m − 3) < 0

Étudions le signe du polynôme P(m) = (4 m + 3) (4 m − 3) :

4 m + 3 − + +

4 m − 3 − − +

P( m ) + − +

3

34 4

L’inéquation (4 m + 3) (4 m − 3) < 0 a pour solution l’intervalle ] −

34

;

34

[ . En résumé, la droite et le cercle se coupent si −

34

< m <

34

.

Géométrie : le cercle Corrigé 5.6

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