D167 – Une paire de cercles inscrits [**** à la main]
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. La bissectrice AI coupe les droites [DE] et [DF] aux points P et Q. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur BC. démontrer que D est le centre du cercle inscrit du triangle HPQ.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par L et M les intersections des bissectrices des angles ABC et ACB avec la droite EF. Par ailleurs on pose ABC = 2α, BAC = 2β et ACB = 2γ.
On va démontrer que les six points B,D,P,I,M et F appartiennent à un même cercle et qu’il en est de même des six points C,Q,D,I,E et L. Les deux propriétés se déduisent l’une de l’autre en permutant les lettres des couples (B,C),(P,Q),(E,F) et (L,M).
Démontrons la seconde :
Dans le triangle BFL, on a BFL = 180° – (90° – α) = 90° + α.
D’où BLF = 180° – (90° + α) – β = γ.
D’autre part BCI = ACI = γ
et AQE =AQF = 180° –AFQ – α = 180° – (90° + β) –α = γ.
Les points pris 4 à 4, à savoir (C,E,I,L),(C,Q,D,I), (C,Q,I,E), (Q,I,E,L) sont cocycliques. Il en résulte que les 6 points C,Q,D,I,E et L sont cocycliques.
Comme CDI = 90°, on a CQI = 90° . Par ailleurs AHC = 90°,les quatre points A,C,Q et H sont donc cocycliques.
D’où AQH = ACH = 2γ etDQH = AQH – AQF = 2γ – γ = γ. DQ est donc bissectrice de l’angle HQP.
De la même manière,PD est bissectrice de HPQ.
Conclusion : D est le centre du cercle inscrit au triangle HPQ
