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démontrer que D est le centre du cercle inscrit du triangle HPQ

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Academic year: 2022

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D167 – Une paire de cercles inscrits [**** à la main]

Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. La bissectrice AI coupe les droites [DE] et [DF] aux points P et Q. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur BC. démontrer que D est le centre du cercle inscrit du triangle HPQ.

Solution proposée par Bernard Vignes

On désigne par L et M les intersections des bissectrices des angles ABC et ACB avec la droite EF. Par ailleurs on pose ABC = 2α, BAC = 2β et ACB = 2γ.

On va démontrer que les six points B,D,P,I,M et F appartiennent à un même cercle et qu’il en est de même des six points C,Q,D,I,E et L. Les deux propriétés se déduisent l’une de l’autre en permutant les lettres des couples (B,C),(P,Q),(E,F) et (L,M).

Démontrons la seconde :

Dans le triangle BFL, on a BFL = 180° – (90° – α) = 90° + α.

D’où BLF = 180° – (90° + α) – β = γ.

D’autre part BCI = ACI = γ

et AQE =AQF = 180° –AFQ – α = 180° – (90° + β) –α = γ.

Les points pris 4 à 4, à savoir (C,E,I,L),(C,Q,D,I), (C,Q,I,E), (Q,I,E,L) sont cocycliques. Il en résulte que les 6 points C,Q,D,I,E et L sont cocycliques.

Comme CDI = 90°, on a CQI = 90° . Par ailleurs AHC = 90°,les quatre points A,C,Q et H sont donc cocycliques.

D’où AQH = ACH = 2γ etDQH = AQH – AQF = 2γ – γ = γ. DQ est donc bissectrice de l’angle HQP.

De la même manière,PD est bissectrice de HPQ.

Conclusion : D est le centre du cercle inscrit au triangle HPQ

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