D1801. Quartés gagnant (2ème course) Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A1

D1801. Quartés gagnant (2ème course)

Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A₁,B₁et C₁ et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A₂.Soit A’ le milieu de BC.

La droite A₂I coupe la hauteur AH du triangle ABC au point M.

La droite A’I coupe la droite AA₁ au point N.

Le point U est le milieu de la médiane AA’.

Le point A se projette en V sur la bissectrice de l’angle en B du triangle ABC.

Peut-on raisonnablement parier que les quatre points M,N,U et V pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?

Soit Δ la médiatrice de la hauteur AH. Son équation barycentrique est : x – y – z = 0.

Le point U, milieu de la médiane AA’ est sur Δ.

Le cercle de diamètre AB passe par A,V et H, la bissectrice de l'angle B partage l'arc AH de ce cercle en deux arcs égaux AV et VH. Les cordes AV et VH sont égales : V, équidistant de A et H, est sur la médiatrice Δ de AH.

Les coordonnées barycentriques de A et A₁ sont (1,0,0) et (0, a+b–c, a–b+c), celles du milieu N' de A A₁ sont : (2a, a+b–c, a–b+c). On vérifie l'alignement des points A' I N' car le

(2a, a+b-c, a-b+c)

déterminant ( a , b , c ) est nul , { (ligne 1) – 2*(ligne 2) = (a–b–c)*(ligne 3) } ( 0 , 1 , 1 )

N = (A’I) ∩ (AA₁) est confondu avec le milieu N' de A A₁ donc N est sur Δ .

Les coordonnées barycentriques de I et A₂ sont (a,b,c) et (0,a – b+c,a+b –c) .

L'équation barycentrique de la droite (IA₂) est : x(b–c)(a+b+c)–ay(a+b–c)+az(a–b+c) = 0 Soit M' = (IA₂) ∩ Δ. Coordonnées de M' : (2a², a²+b²–c², a²+c²–b²) .

Pour prouver que M' et M sont confondus, il convient de démontrer que les vecteurs AM' et BC sont perpendiculaires.

Vect(AM') = (1/4a²)[(a²+b²–c²)AB + ( a²+c²–b²)AC] colinéaire à W=[a²(AB+AC)+(c²–b²)(AC–AB)] Vect(BC) = – AB + AC

Produit scalaire W.BC = a²(AC² – AB²) + (c² – b²)(AC – AB)² = a²(b² – c²) + (c² – b²).a² = 0 M' = (IA₂) ∩ Δ appartient à la hauteur AH, M et M' sont confondus, M est sur Δ.

Les points U, V, N, M sont alignés sur la médiatrice de la hauteur AH.

Figure en page 2