D1801. Quartés gagnant (2ème course)
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A1,B1et C1 et le cercle exinscrit dans l’angle en A touche BC en A2.Soit A’ le milieu de BC.
La droite A2I coupe la hauteur AH du triangle ABC au point M.
La droite A’I coupe la droite AA1 au point N.
Le point U est le milieu de la médiane AA’.
Le point A se projette en V sur la bissectrice de l’angle en B du triangle ABC.
Peut-on raisonnablement parier que les quatre points M,N,U et V pris dans cet ordre ou dans le désordre forment un quarté gagnant c’est à dire sont sur une même ligne droite ?
Soit Δ la médiatrice de la hauteur AH. Son équation barycentrique est : x – y – z = 0.
Le point U, milieu de la médiane AA’ est sur Δ.
Le cercle de diamètre AB passe par A,V et H, la bissectrice de l'angle B partage l'arc AH de ce cercle en deux arcs égaux AV et VH. Les cordes AV et VH sont égales : V, équidistant de A et H, est sur la médiatrice Δ de AH.
Les coordonnées barycentriques de A et A1 sont (1,0,0) et (0, a+b–c, a–b+c), celles du milieu N' de A A1 sont : (2a, a+b–c, a–b+c). On vérifie l'alignement des points A' I N' car le
(2a, a+b-c, a-b+c)
déterminant ( a , b , c ) est nul , { (ligne 1) – 2*(ligne 2) = (a–b–c)*(ligne 3) } ( 0 , 1 , 1 )
N = (A’I) ∩ (AA1) est confondu avec le milieu N' de A A1 donc N est sur Δ .
Les coordonnées barycentriques de I et A2 sont (a,b,c) et (0,a – b+c,a+b –c) .
L'équation barycentrique de la droite (IA2) est : x(b–c)(a+b+c)–ay(a+b–c)+az(a–b+c) = 0 Soit M' = (IA2) ∩ Δ. Coordonnées de M' : (2a², a²+b²–c², a²+c²–b²) .
Pour prouver que M' et M sont confondus, il convient de démontrer que les vecteurs AM' et BC sont perpendiculaires.
Vect(AM') = (1/4a²)[(a²+b²–c²)AB + ( a²+c²–b²)AC] colinéaire à W=[a²(AB+AC)+(c²–b²)(AC–AB)] Vect(BC) = – AB + AC
Produit scalaire W.BC = a²(AC² – AB²) + (c² – b²)(AC – AB)² = a²(b² – c²) + (c² – b²).a² = 0 M' = (IA2) ∩ Δ appartient à la hauteur AH, M et M' sont confondus, M est sur Δ.
Les points U, V, N, M sont alignés sur la médiatrice de la hauteur AH.
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