D1849 − Virage à angle droit [***à la main]
Soit un triangle ABC. Une parallèle (Δ) à la droite BC coupe la droite [AB] en un point D et la droite [AC]
en un point E. Par un point P quelconque du plan, on trace les droites [PB] et [PC] qui coupent la droite (Δ) respectivement aux points F et G.
Démontrer que la droite [AP] fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux triangles PDG et PEF.
Solution proposée par Bernard Vignes
On désigne par M le second point d’intersection de la droite [AB] avec le cercle (Γ1) circonscrit au triangle DPG et par N le second point d’intersection de la droite [AC] avec le cercle (Γ2) circonscrit au triangle EPF.
Comme les quatre points D,P,G,M sont sur un même cercle, on a DMP = DGP et que la droite (Δ) est parallèle à la droite [BC] ,on a DGP = BCP. Les quatre points B,P,CM sont donc cocycliques.
De la même manière les quatre points B,P,C,N sont cocycliques.
Dès lors les cinq points B,P,C,M,N sont sur le même cercle (Γ’) circonscrit au triangle BPC.
Il en résulte que BMN = DMN = BCN = DEN (avec (Δ) // [BC]) et les quatre points D,E,M et N sont sur un même cercle (γ).
La droite [DM] est l’axe radical des deux cercles (Γ1) et (γ) tandis que la droite [EN] est l’axe radical des cercles (Γ2) et (γ) et la droite [AP] est l’axe radical des cercles (Γ1) et (Γ2). Le point A qui est à l’intersection de ces trois axes radicaux est donc le centre radical des trois cercles (Γ1),(Γ2) et (γ). Il en découle que l’axe radical [AP] est perpendiculaire à la droite joignant les centres O1 et O2 des deux cercles (Γ1) et (Γ2).
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