D1959. Radicalement vôtre 1er problème
On désigne par D,E,F les projections des sommets d’un triangle ABC sur une droite quelconque (L).Démontrer que les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant respectivement par D,E et F sont concourantes.
2ème problème
Soit un ABCD un quadrilatère circonscrit à un cercle (Γ) avec BC > BA. On trace sur le côté BC le point P tel que BP = BA. Démontrer que la bissectrice de l’angle BCD, la perpendiculaire à la droite BC passant par P et la perpendiculaire à la droite BD passant par A sont concourantes.
Q1 Si l'équation de (L) est y=0, si les coordonnées de A,B,C ,D,E,F sont :
A(a,d), B(b,e), C(c,f), D(a,0), E(b,0), F(c,0), l'équation de la perpendiculaire à BC passant par D s'obtient en annulant le produit scalaire des vecteurs [(x-a),y)] et [(b-c),(e-f)]
(b-c)(x-a) + (e-f)y + = 0.
On vérifie que la somme membre à membre des 3 équations
(b-c)x+(e-f)y+ac - ab=0, (c-a)x+(f-d)y+ba - bc=0, (a-b)x+(d-e)y+cb - ca=0 donne 0=0, Donc les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant respectivement par D,E et F sont concourantes.
Q2 - Origine O au centre du cercle (Γ) , axe des abscisses suivant OC. Les côtés de ABCD touchent (Γ) en R,S,T,U. Les angles COT, DOU, AOR, BOS sont désignés par les lettres c,d,a,b.
a+b+c+d = 180° . Le rayon de (Γ) est pris comme unité.
AB = tan a + tan b, BC =tan b + tan c, CP = BC – AB = tan c – tan a. La perpendiculaire en P à BC coupe la bissectrice de l'angle C en I , CI = CP/ cos(90° – c) . CI = (tan c – tan a)/ sin c
OI = OC – CI = 1/cos c – (tan c – tan a)/ sin c , OI = tan a / sin c OD = 1/ cos d, xD = cos(c+d)/ cos d, yD = sin(c+d)/ cos d.
OB = 1/ cos b, xB = cos(c+b)/ cos b, yB = – sin(c+b)/ cos b.
Vecteur BD: [cos(c+d)/ cos d – cos(c+b)/ cos b ] , [sin(c+d)/ cos d + sin(c+b)/ cos b]
est colinéaire à [cos(c+d).cos b – cos(c+b).cos d ] , [sin(c+d).cos b + sin(c+b).cos d]
On recherche l'abscisse xJ du point J où la perpendiculaire à BD issue de A coupe OC.
OA = 1/ cos a, angle COA = c+2d+a = d + (180° - b) xA = – cos(d –b)/ cos a, yA = – sin(d –b)/ cos a.
Vecteur AJ est colinéaire à [xJ cos a + cos(d-b)],[sin (d-b)]
Produit scalaire AJ.BD = 0 équivaut à la nullité de :
[xJ cos a + cos(d –b)].[cos(c+d).cos b – cos(c+b).cos d ]+sin (d-b).[sin(c+d).cos b + sin(c+b).cos d]
mais cos(c+d).cos b – cos(c+b).cos d = sin c.sin(b-d) , simplifions par sin(b-d) qui n'est pas nul, [xJ cos a + cos(d –b)].sin c –[sin(c+d).cos b + sin(c+b).cos d] = 0
[xJ cos a + cos(d –b)].sin c –[2sin c.cos b.cos d + cos c .sin(b+d)] = 0 xJ cos a = 2 cos b.cos d + cos c .sin(b+d)/sin c – cos( b –d)
xJ cos a = cos( b+d) + cos c .sin(b+d)/sin c = sin(b+c+d) / sin c = sin a / sin c xJ = tan a / sin c
Les points I et J sont donc confondus. Donc la bissectrice de l’angle BCD, la perpendiculaire à la droite BC passant par P et la perpendiculaire à la droite BD passant par A sont concourantes.
