D1925 – Trois cercles et deux tangentes [***à la main]
Solution proposée par Dominique Roux
Appliquons l’inversion de pôle B et de puissance BI². Les cercles (O₁) et (O₂) deviennent des cercles (O’₁) et (O’₂) tangents en I qui est un point fixe. (Nota : les points O’₁ et O₁ ne sont pas inverses, de même que O’₂ et O₂, mais c’est sans importance).
Les droites BA et BC sont globalement invariantes.
Le cercle (ABC) devient une droite tangente aux cercles (O’₁) et (O’₂) . C’est leur seconde bitangente commune,la première étant BC. Ces deux droites se coupent en C’ inverse du point C commun au cercle (ABC) et à la droite BC.
La tangente en I à (O₁) et (O₂) devient un cercle (Γ) passant par B et tangent en I à (O’₁) et (O’₂) , donc son centre est sur la droite O’₁O’₂.
A’ désignant l’inverse de A est à l’intersection du cercle (Γ) avec BA tandis que K’ inverse du point K d’intersection de AD et de BC est à l’intersection du cercle (Γ) avec BC.
La symétrie de la figure par rapport à la droite O’₁O’₂ qui contient I,C’ et le centre du cercle (Γ) montre que les arcs IA’ et IK’ sont de même longueur. Par suite les angles inscrits A’BI et IBK’ dans (Γ) sont égaux, donc BI est bissectrice de l’angle A’BK’
donc aussi de l’angle ABC.
De même en partant de C, CI est bissectrice de l’angle ACB.
Donc I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
