Le cercle (ABC) devient une droite tangente aux cercles (O’₁) et (O’₂

D1925 – Trois cercles et deux tangentes [***à la main]

Solution proposée par Dominique Roux

Appliquons l’inversion de pôle B et de puissance BI². Les cercles (O₁) et (O₂) deviennent des cercles (O’₁) et (O’₂) tangents en I qui est un point fixe. (Nota : les points O’₁ et O₁ ne sont pas inverses, de même que O’₂ et O₂, mais c’est sans importance).

Les droites BA et BC sont globalement invariantes.

Le cercle (ABC) devient une droite tangente aux cercles (O’₁) et (O’₂) . C’est leur seconde bitangente commune,la première étant BC. Ces deux droites se coupent en C’ inverse du point C commun au cercle (ABC) et à la droite BC.

La tangente en I à (O₁) et (O₂) devient un cercle (Γ) passant par B et tangent en I à (O’₁) et (O’₂) , donc son centre est sur la droite O’₁O’₂.

A’ désignant l’inverse de A est à l’intersection du cercle (Γ) avec BA tandis que K’ inverse du point K d’intersection de AD et de BC est à l’intersection du cercle (Γ) avec BC.

La symétrie de la figure par rapport à la droite O’₁O’₂ qui contient I,C’ et le centre du cercle (Γ) montre que les arcs IA’ et IK’ sont de même longueur. Par suite les angles inscrits A’BI et IBK’ dans (Γ) sont égaux, donc BI est bissectrice de l’angle A’BK’

donc aussi de l’angle ABC.

De même en partant de C, CI est bissectrice de l’angle ACB.

Donc I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.