D1890-De symétrie en symétrie MB
On trace une corde BC dans un cercle (Γ) de centre O. A est un point courant de (Γ).
Quand A parcourt le cercle (Γ) :
1- déterminer respectivement les lieux des symétriques du centre de gravité G du triangle ABC par rapport aux droites [AB],[AC] et [BC] et démontrer que ces trois lieux se rencontrent en un même point si et seulement si du centre de (Γ) la corde BC est vue sous un angle de 120°.
2- déterminer respectivement les lieux du point P symétrique de O par apport à la
bissectrice intérieure de l’angle BAC, du point Q symétrique de P par rapport à la droite [AB] et du point R symétrique de Q par rapport à la droite [AC] .
Q1) Les points sont repérés par leurs affixes complexes. L'affixe de O est zéro, le cercle (Γ) est le cercle unité. Les affixes de A,B,C sont a, b, c, tous de module un. La corde BC est parallèle à l'axe des réels, ce qui implique c = –1/b .
affixe de G : (a+b+c)/3.
L'affixe du symétrique d'un point d'affixe z par rapport à la corde AB est z' = a+b – ab ̄z
L'affixe gc de Gc symétrique de G par rapport à AB est gc = a+b−ab ((1
a)+(1 b)+(1
c)) 3
gc = (2bc−a(b−2c))
(3c) =(a(b2+2)+2b)
3 Le point Gc est donc l'image du point A par une
similitude directe. Le lieu de Gc est un cercle dont le centre Bc, d'affixe 2b/3 est déduit de B par l'homothétie H(O, 2/3). Quand A→C, Gc→C' où C' est l'homothétique de B dans l'homothétie de centre C et de rapport 1/3. Le lieu de Gc est donc le cercle de centre Bc qui passe par C'.
De même le lieu de Gb, symétrique de G par rapport à AC, est symétrique du lieu précédent par rapport à la médiatrice de BC.
Les lieux de G et de son symétrique Ga par rapport à BC se déduisent de (Γ) par les homothéties de centre M, milieu de BC, et de rapports +1/3 et –1/3.
Utilisons maintenant des coordonnées cartésiennes : B(-3,0), C(+3,0), O(0,3t), M(0,0), Bc(2,t),C'(1,0) Un cercle de centre Bc : x² + y²+ 4x – 2ty + k = 0 , il passe par C'(1,0) : k= – 5
Intersection des 2 cercles symétriques : y² – 2ty – 5 = 0 Cercle lieu de Ga x²+y²+2ty – 1 = 0 et l'intersection avec l'axe x = 0 : y ²+ 2ty – 1 = 0 Les 3 cercles ont un point commun si et seulement si on a ty = – 1 , y² = 3, y = +√3.
Et, comme MB = MC = 3, cela équivaut, pour le triangle BOC à avoir en B et C des angles de 30° et , en O, un angle de 120°.
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4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
Q2)
Le point A décrit seulement le grand arc BC, aux 3 lieux obtenus il conviendra d'ajouter les lieux analogues obtenus quand A décrit le petit arc BC
Soit E le milieu du petit arc BC, AE est bissectrice intérieure de BAC et médiatrice de OP.
Le lieu de P est un arc du cercle de centre E passant par O, les extrémités de cet arc se trouvent sur la perpendiculaire en B à BC et sur la perpendiculaire en C à BC (et sont obtenus quand A→B et A→C )
La composée des symétries d'axe AE et AB est la rotation de centre A et d'angle CÂB.
Dans le triangle isocèle OAP les trois angles sont constants, OQ = 2 OA sin (BÂC/2) est constant.
Le point Q décrit un arc de cercle de centre O ( les positions limites de Q sont associées aux positions limites A→B et A→C )
La composée de la rotation de centre A d'angle CÂB et de la symétrie d'axe AC est la symétrie axiale d'axe n déduit de la droite AC par la rotation de centre A d'angle EÂC, cette droite n recoupe le cercle (Γ) en N qui est un point fixe. Le triangle ONR est isocèle. R décrit un arc de cercle de centre N et de rayon ON.
( les positions limites de R sont associées aux positions limites A→B et A→C )
En page 3 on verra les lieux de P,Q,R obtenus quand A décrit le petit arc BC, la bissectrice de BÂC passe par le milieu F du grand arc BC. Les lieux de P, Q, R sont encore des arcs de cercle centrés en F, O, et N . (N est le point du cercle (Γ) tel que arc BN = ½ arc CB )
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