AB  AC  BC BC  AB  AC AC  AB  BC

Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple :

Dans le triangle ABC, on a :

AB  AC  BC BC  AB  AC AC  AB  BC

Remarque :

On peut interpréter l'inégalité BC  AB  AC en remarquant que le chemin le plus court pour aller du point B au point C est la ligne droite.

• Si un point A appartient au segment [BC], alors BC = BA  AC.

• Si trois points A, B et C sont tels que BC = BA  AC, alors A appartient au segment [BC].

(Autrement dit, les points A, B et C sont alignés.)

Somme des angles

Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.

̂ BAC  ̂ ACB  ̂ ABC = 180°

Exemple :

Dans le triangle ci-contre, on sait que :

̂ GDF = 54° et ̂ GFD = 21°

La sommes des mesures des angles du triangle GDF est égale à 180°, donc :

̂ GDF  ̂ GFD  ̂ DGF = 180°

54°  21°  ̂ DGF = 180°

75°  ̂ DGF = 180°

̂ DGF = 105°

Triangles • G3 113

13 Propriété 1

Propriétés 2

A

B

Propriétés dans un triangle

1

A

B

C

A

B C

Propriété

B A C

^BC _{BA AC}

D F

G

25

Construire un triangle

2

Définition

Cas d'égalité de triangles

Deux triangles sont isométriques si leurs côtés ont la même longueur deux à deux.

Exemple : Les triangles ABC, DEF, GHI et JKL sont isométriques.

Ils sont superposables par glissement et/ou retournement.

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, deux à deux, alors ils sont isométriques.

Exemple : AB = DE

Le côté [AB] est compris entre les angles ̂ CAB et ̂ CBA.

Le côté [DE] est compris entre les angles ̂ FED et ̂ EDF.

De plus, ̂ CAB = ̂ FED et ̂ CBA = ̂ EDF.

Donc les triangles ABC et EDF sont isométriques.

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, deux à deux, alors ils sont isométriques.

Exemple :

̂ CAB = ̂ FED

L'angle ̂ CAB est compris entre les côtés [AC] et [AB].

L'angle ̂ FED est compris entre les côtés [EF] et [ED].

De plus, AC = EF et AB = ED.

Donc les triangles ABC et DEF sont isométriques.

Si deux triangles sont isométriques, alors :

• leurs angles ont la même mesure ;

• leurs aires sont égales.

Remarques :

Attention, la réciproque n'est pas forcément vraie.

• Deux triangles peuvent avoir des angles de même mesure, deux à deux, sans pour autant être isométriques.

• Deux triangles peuvent avoir la même aire sans pour autant être isométriques.

G3 • Triangles

114

Propriété 1

Propriété 2

Propriété 3

A

B C

D

L

K

F

E

J

G

I

H

A

C

B F

D

E

A C

B

F

D E

A

57

Connaissant la longueur des trois côtés

• Un triangle est constructible lorsque la longueur de son plus grand côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

• Si ce n'est pas le cas, alors il n'est pas possible de construire un tel triangle.

Exemple :

On souhaite tracer un triangle ABC tel que BC = 5 cm et AC = 1,8 cm.

Dans les trois cas suivants, on donne la longueur AB.

Est-il possible de construire un tel triangle ?

Cas 1 AB = 2,4 cm

Le plus grand côté est [BC] et 5  1,8  2,4 donc BC  AB  AC

Donc il n'est pas possible de construire ABC.

Cas 2 AB = 3,2 cm

Comme AB  AC = 3,2  1,8 = 5 = BC les points A,B et C sont alignés.

Donc il n'est pas possible de construire ABC.

Cas 3 AB = 4,5 cm

Le plus grand côté est [BC] et 5  4,5  2,4 donc BC  AB  AC Donc ABC est constructible.

On trace :

• le plus grand côté [BC] de longueur 5 cm ;

• le cercle de centre C et de rayon 1,8 cm ;

• le cercle de centre B et de rayon 4,5 cm.

Ces deux cercles se coupent en A.

Triangles • G3

B

Propriétés

115

B 5 C

1,8 4,5

A

B 5 C

A 1,8 3,2

B 5 C

2,4 1,8

Connaissant la longueur de deux côtés

et la mesure de l'angle délimité par ces côtés

Exemple :

Pour construire un triangle ABC sachant que AB = 10 cm, ̂ BAC = 55° et AC = 6 cm, on trace :

• un segment [AB] de longueur 10 cm ;

• la demi-droite [A x ) telle que ̂ BA x = 55° ;

• le cercle de centre A et de rayon 6 cm.

C est le point d'intersection de ce cercle et de la demi-droite [A x ).

Connaissant la longueur d'un côté

et la mesure des angles adjacents à ce côté

Exemple :

Pour construire un triangle ABC sachant que AB = 8 cm , ̂ BAC = 50° et ̂ ABC = 35°, on trace :

• un segment [AB] de longueur 8 cm ;

• la demi-droite [A x ) telle que ̂ BA x = 50° ;

• la demi-droite [B y ) telle que ̂ BA y = 35°.

Ces deux demi-droites se coupent en C.

Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Exemples :

Dans le triangle ABC, la droite (d 1 ) passe par le sommet A et est perpendiculaire au côté [BC].

On dit que (d 1 ) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Dans le triangle DEF, la droite (d 2 ) passe par le sommet D et est perpendiculaire au côté [EF].

On dit que (d 2 ) est la hauteur issue de D dans le triangle DEF.

G3 • Triangles

Définition

C

Hauteurs d'un triangle

3

D

6

A B

C

x

10 55°

x

50°

A B

C

35°

8

y

A

B

C (d ₁ )

D

E

F (d ₂ )

62

116