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La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J

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Academic year: 2022

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(1)

D1842. Au bon souvenir de Trajan Lalesco ***

Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se rencontrent au point D.

Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle

La droite [BF] rencontre la droite [AD] au point P.

La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J.

La parallèle passant par P à la droite [AC] coupe la droite [AB] au point K et la droite [BC] au point L.

Q1 Démontrer que les quatre points I,J,K (γ).

Q2 Le cercle (γ) coupe la droite [AB] en un deuxième point M et la droite [AC] en un deuxième point N.

Démontrer que la droite [MN] est parallèle à la droite [BC]

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.

Para resolver este problema nos apoyamos en las siguientes propiedades de las simedianas de un triángulo.

1) La simediana por 𝐴 las antiparalelas a 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶.

2) La simediana por 𝐴 de las tangentes en 𝐵 lo 𝐴𝐵𝐶, con 𝐴.

ralelogramo; la simediana ahí ∢𝐴𝐾𝐼 = 𝛾 y los triá

D1842. Au bon souvenir de Trajan Lalesco ***

Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se rencontrent au point D.

Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle en B.

La droite [BF] rencontre la droite [AD] au point P.

La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J.

La parallèle passant par P à la droite [AC] coupe la droite [AB] au [BC] au point L.

ontrer que les quatre points I,J,K et L sont sur un même cercle

coupe la droite [AB] en un deuxième point M et la droite [AC] en un deuxième point N.

Démontrer que la droite [MN] est parallèle à la droite [BC]

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de

Para resolver este problema nos apoyamos en las siguientes propiedades de las simedianas de un triángulo.

𝐴 es el lugar geométrico de los puntos me 𝐵𝐶 con respecto a los lados 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶

es la recta 𝐴𝐴’ que une el 𝐴’, punto de encue y 𝐶 a la circunferencia circunscrita

Utilizando 2) tenemos que es una de las simedianas del triángulo 𝐴𝐵𝐶 y, según la def nición de simediana

[𝐵𝐹] es la simediana por

implica que 𝑃 es el simediano o punto de Lemoine del triángulo 𝐴𝐵𝐶.

Pasemos a la demostración de las cuestiones Q1 y

Q1) Basta con tener en cuenta, según 1), que [𝐾𝐼]

lela a [𝐵𝐶] (pues 𝐴

la simediana [𝐴𝑃] una de sus diagonales y 𝐸 su centro los triángulos 𝑃𝐽𝐿 y 𝑃𝐾𝐼 son semejantes. E

Les tangentes en B et C au cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC se

Soit F le point symétrique du centre de gravité G du triangle ABC par

La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au

La parallèle passant par P à la droite [AC] coupe la droite [AB] au

et L sont sur un même cercle

coupe la droite [AB] en un deuxième point M et la

Démontrer que la droite [MN] est parallèle à la droite [BC]

Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de

Para resolver este problema nos apoyamos en las siguientes propiedades

es el lugar geométrico de los puntos medios de del triángulo

, punto de encuentro a la circunferencia circunscrita al triángu-

ando 2) tenemos que [𝐴𝐷]

es una de las simedianas del según la defi- nición de simediana, la recta

es la simediana por 𝐵. Esto es el simediano o punto de Lemoine del triángulo

Pasemos a la demostración de y Q2.

Basta con tener en cuenta, es antipara- 𝐴𝐾𝑃𝐼 es un pa- su centro). De . Esta semejanza

(2)

significa que 𝑃𝐽 · 𝑃𝐼 = 𝑃𝐿 · 𝑃𝐾 y eso equivale a démontrer que les quatre points I, J, K et L sont sur un même cercle (γ).

Q1 et Q2) Concluiremos demostrando que en este círculo (γ), también se encuentran los puntos de intersección de la paralela a [𝐵𝐶] con los lados del triángulo. Vamos a suponer que 𝑀 y 𝑁 son los cortes de la paralela a [𝐵𝐶] por 𝑃 y queremos concluir que están en (γ).

Por ser ∢𝐴𝐾𝐼 = 𝛾, el cuadrilátero 𝑴𝑵𝑰𝑲 es cíclico. El mismo razona- miento es aplicable al paralelogramo 𝑀𝐵𝐽𝑃 deduciendo de ello que [𝐽𝑀]

es antiparalela a [𝐵𝐶] y por ello también es cíclico el cuadrilátero 𝑴𝑱𝑳𝑲.

De todo ello, mediante un cómputo de ángulos, concluimos que el trape- cio 𝑰𝑲𝑴𝑱 es inscriptible. Como contiene tres vértices del cuadrilátero 𝑴𝑵𝑰𝑲 y otros tres del 𝑴𝑱𝑳𝑲, la circunferencia que lo circunscribe también circunscribe a aquéllos. Y con esto concluimos.

Esa circunferencia se conoce como primera circunferencia de Lemoine.∎

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