à la droite (BC) coupe la droite (AB) en un pointD et la droite (AC) en un pointE

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D1849. Virage à angle droit ***

Soit un triangleABC. Une parallèle (∆) à la droite (BC) coupe la droite (AB) en un pointD et la droite (AC) en un pointE. Par un pointP quelconque du plan, on trace les droites (P B) et (PC) qui coupent la droite (∆) respectivement aux pointsFetG.

Démontrer que la droite (AP) fait un angle droit avec la droite joignant les centres des cercles circonscrits aux trianglesP DGetPE F

Solution de Claude Felloneau

A

B C

D E

P F

I G

On noteh_P l’homothétie de centrePqui transformeFenBetGenC,h_Al’homothétie de centreAqui transformeBenDetCenEetf la composéehA◦hPqui transformeFenDetGenE. On a−−→

DE =k−−→

F G oùkest un réel non nul.

Sik6=1,f est une homothétie de rapportket de centreIappartenant à la droite (AP).

−→I E =k−→

IG et−−→

I D =k−→

I F donc−→

I E ·−→

I F =k−→

IG ·−→

I F =−→

IG ·³ k−→

I F´

=−→

IG ·−−→

I D.

Ainsi le pointIà la même puissance par rapport aux deux cercles circonscrits aux trianglesP DGetPE F, il est donc sur l’axe radical de ces deux cercles c’est-à-dire la droite qui passe parPet est perpendiculaire à la droite (δ) passant par les centres de ces deux cercles.

CommeI∈(AP), la droite (AP) est perpendiculaire à [δ).

Sik=1,f est une translation de vecteur−→

u colinéaire à−−→

AP . Or−→ u =−−→

F D =−−→

GE est un vecteur directeur de (∆). Donc (AP) est parallèle à (∆).

Comme−−→

DE =−−→

F G, les segments [DG] et [E F], inclus dans (∆), ont le même milieu et donc la même mé- diatrice qui est la droite (δ).

Ainsi, la droite (AP) est perpendiculaire à (δ).

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