:-r I Géométrie C2
Leçon 32 : Triangles
1.
Actrvités
Étant donné trois cas
differents
de trois bandes fines de papier de longueur indiquée ci-contrc :a. 2cm,3cm et
5cm.b. 3cm,4cnt et
6cm.c. 3cm,5crn
et 9cm-ona:
.tAB+AC>BC et AB+BC>AC B
,4C+BC>AB
Exemplgs :'
Dans chacun des cas suivants, est-il possible de construire un
triangle
?Pourquoi
?a. 5cm,6cm
et 7 cm.Solutions
:b.
7 cm,7cm et I4cm. c. 3cm,5cm et
lÙcm-a-
b.
.c.
- Dans chaque cas, comparer la longueur de bandes.
- Dans chaque cas, disposer ces trois bandes en forme triangulaire.
Que constatez-vous ?
- Dans
quel
cas, peut-on construire untriangle
? Et dans quel cas, non ?Expliquer,
pourquoi ?-
Donner
la relation entre la somme de longueurs des deux côtes et lalongueur
du troisième côté d'un triangle.2. Essentiel
1.
Inégalité triangulaire
Dans tous les triangles, la longueur
d'un
côté est inférieure àla
somme de longueurs des deux autres côtés.Dans un triangle quelconque ABC,
a.
Il
est possible de construire un triangle, car :n
5cm*6cm>7
cmD 5cm*7cm>6cm
[ 6cm+7cm>5cm
b.
Il
est impossible de construire untriangle, car
7 cm+7cm:l4cm
-c.
Il
est impossible de construire untriangle,
cat 3cm+5cm<lÙcm
-A
7cm
130
2.
Triangle
AGéométrie C2
Un
triangle
ABC a six éléments :- les mesures A, B, C de ses angles intérieurs ;
- les mesures BC
:
a,CA :
b etAI| :
c de ses côtés.a.
Triangle
isocèleDéfinition
Un
triangle
isocèle est untriangle
qui à deux côtes de même longueur.Propriétés
Un
triangle isocèle enA
possède un axe de symétrie qui est:-
la hauteur issue deA, -
la bissectricedel'angle À,
- la médiane issue deA, -
la médiatrice de la base.-
Ses angles à la base ont même mesure.3. Cas
particuliers
I
.
Réciproque
:Tout
triangle
qui a deux angles égaux est isocèle.AB=AC:BC
A=B-C
^b.
Triangle équilatéral Définition
- Un triangle équilatéral est un triangle
qui
a sestrois
côtés égaux.- Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux.
Réciproque
:-
Tout
triangle qui a sestrois
angles égaux est équilatéral.-
Il
atrois
axes de symétrie. Ce sont(AK), (BM)
et
(CL).
l3l
c.
Triangle rectangle Définition
- Un
triangle rectangle est un trianglequi
a un angle droit.- Le
côté opposé à l?angle droit est hypoténuse.- Les deux autres côtés sont les adjacents.
- Sur la
figure,
le triangleABC
est rectangle enA:
.
l'angle A
estdroit, BC
est I'hypoténuse,..
AB
et AC sont les adjacents,- Un
triangle rectangle de côtés adjacents égaux"jI rrgg*)
-
Les
angles adjacents à la based'un triangle
isocèle sont des angles aigus égaux.- Sur la
figure,
le triangleABC
est isocèle rectangle enA:
.
l'angle À
estdroit,.AB:AC;n:Ô
4.
Construction
detriangles
a.Connaissant
lestrois
côtésExemple
: Constructiond'un triangle FAT
tel, queAF -5cm- AT :7 cm
etFT :9cm.
Hypothèse AF = 5cm, AT =7 cm FT:9cm.
Conclusion Construire le
ffiangle FAT
- On trace
un
segmentlrrl
de longueur 9cm- On trace deux arcs de cercle de centre
respectifs
F et T, derayons
5 cm et 7cm.
Ces deux arcs se coupent en A.- Le
triangle FAT
ainsi obtenu est le triangle demandé.b.
Connaissant
deux côtés et I'anglecompris
entre cesdeux
côtés Exemple : Constructiond'un
triangle HOTtel
queHT =5cm, OH -6cm
et, È:55".
132
Géométrie C2
Hypothèse HT =5cm, OH = 6cm 91
n :
SS"Conclusion Construire le
triangle HOT
Solution :
- On construit un angle
rcTy:
55"-
on
porte surtFx)
un segmentHo
=6cm
et surtFry)
un segmentHT -5cm.
- Le triangle
HOT
ainsi obtenu est la solution cherchée.c.
connaissant
un côté et lesdeux
anglesadjacents
à ce côtéExemple : construction
d'un
triangle\ryIN tel
queIN =7 cm, î -36
etN - 60'.
Hypothèse
Conclusion Construire le
triangle
WTNSolution :
-
on
construit un sJgment[nr]
de longueurrcm
puis,l'angle Nîx -36".
Enfin du mêrne côté de
IN
quei'angle ,ÎN ,on
constnrit l'angle Ifry-
6s"- Si rui;
+Ifry
est inferieurà
180" , les demi-droites[Ix)
er[Ny)
se coupent en un point W.- Le triangle
FAT
ainsi obtenu est le triangle demandé.IN =7 cm, Î -36
etN:60"
t33
Exercices
l.
Peut-onconstruire
le triangle dans chacun des cas suivants ?Ne pas faire
le
dessin maisjustifier
la réponse.a. de côtés 5
;6 et
10.c. de côtés 5 :
6 et
12.b. decôtés5;6et1l.
d. decôtés7:.7 et7.
2.
3.
Le triangle
ABC tel que AB:4cm et
AC=6cm peut-il avoir
: a. BC=lIcm? b.
BC-pcm? c. BC:lcm
?Justifier la réponse.
Construire un triangle ABC
tel
que :a. AB:6cm; AC=4cm; BC:8cm.
.b. AB=5cm; À-60; Ê -45".
, e.
AB-5cm: BC =8cm; Ê:35"
. d. AC=7cm; À=Ô=80".
Construire un triangle CAT isocèle elA connaissant :
a.
CT-3cm; AC =5cm. b. AC:5cm:. A-40"
a.
Si deux côtes d'un triangle sont respectivement égaux àl5
et 20, alors le-
troisième côté est compris entre...
et ...- b.
Calculerx, la
longueur du troisième côtéd'un
triangle tel que ses deux côtés mesurent 5 et7.c.
Calculerx tel
que les trois côtés d'un triangle sont re3pectivementx; x+3 et r+5:
Soit un quadrilatère ABCQ de diagonale AC.
Montrer que AB + BC + CD +
DA
>zAC
Sur la
figure
ci-dessous, P est un point àI'intérieur
du triangleXYZ.
.
Montrerque 2(PX
+ PY +PZ)
> XY +XZ
+ YZ4.
5.
6.
7.
t34