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AB+BC>AC B

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

:-r I Géométrie C2

Leçon 32 : Triangles

1.

Actrvités

Étant donné trois cas

differents

de trois bandes fines de papier de longueur indiquée ci-contrc :

a. 2cm,3cm et

5cm.

b. 3cm,4cnt et

6cm.

c. 3cm,5crn

et 9cm-

ona:

.t

AB+AC>BC et AB+BC>AC

B

,4C+BC>AB

Exemplgs :'

Dans chacun des cas suivants, est-il possible de construire un

triangle

?

Pourquoi

?

a. 5cm,6cm

et 7 cm.

Solutions

:

b.

7 cm,7

cm et I4cm. c. 3cm,5cm et

lÙcm-

a-

b.

.c.

- Dans chaque cas, comparer la longueur de bandes.

- Dans chaque cas, disposer ces trois bandes en forme triangulaire.

Que constatez-vous ?

- Dans

quel

cas, peut-on construire un

triangle

? Et dans quel cas, non ?

Expliquer,

pourquoi ?

-

Donner

la relation entre la somme de longueurs des deux côtes et la

longueur

du troisième côté d'un triangle.

2. Essentiel

1.

Inégalité triangulaire

Dans tous les triangles, la longueur

d'un

côté est inférieure à

la

somme de longueurs des deux autres côtés.

Dans un triangle quelconque ABC,

a.

Il

est possible de construire un triangle, car :

n

5

cm*6cm>7

cm

D 5cm*7cm>6cm

[ 6cm+7cm>5cm

b.

Il

est impossible de construire un

triangle, car

7 cm+7

cm:l4cm

-

c.

Il

est impossible de construire un

triangle,

cat 3cm+5cm

<lÙcm

-

A

7cm

130

(2)

2.

Triangle

A

Géométrie C2

Un

triangle

ABC a six éléments :

- les mesures A, B, C de ses angles intérieurs ;

- les mesures BC

:

a,

CA :

b et

AI| :

c de ses côtés.

a.

Triangle

isocèle

Définition

Un

triangle

isocèle est un

triangle

qui à deux côtes de même longueur.

Propriétés

Un

triangle isocèle en

A

possède un axe de symétrie qui est:

-

la hauteur issue de

A, -

la bissectrice

del'angle À,

- la médiane issue de

A, -

la médiatrice de la base.

-

Ses angles à la base ont même mesure.

3. Cas

particuliers

I

.

Réciproque

:

Tout

triangle

qui a deux angles égaux est isocèle.

AB=AC:BC

A=B-C

^

b.

Triangle équilatéral Définition

- Un triangle équilatéral est un triangle

qui

a ses

trois

côtés égaux.

- Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux.

Réciproque

:

-

Tout

triangle qui a ses

trois

angles égaux est équilatéral.

-

Il

a

trois

axes de symétrie. Ce sont

(AK), (BM)

et

(CL).

l3l

(3)

c.

Triangle rectangle Définition

- Un

triangle rectangle est un triangle

qui

a un angle droit.

- Le

côté opposé à l?angle droit est hypoténuse.

- Les deux autres côtés sont les adjacents.

- Sur la

figure,

le triangle

ABC

est rectangle en

A:

.

l'angle A

est

droit, BC

est I'hypoténuse,.

.

AB

et AC sont les adjacents,

- Un

triangle rectangle de côtés adjacents égaux

"jI rrgg*)

-

Les

angles adjacents à la base

d'un triangle

isocèle sont des angles aigus égaux.

- Sur la

figure,

le triangle

ABC

est isocèle rectangle en

A:

.

l'angle À

estdroit,

.AB:AC;n:Ô

4.

Construction

de

triangles

a.

Connaissant

les

trois

côtés

Exemple

: Construction

d'un triangle FAT

tel, que

AF -5cm- AT :7 cm

et

FT :9cm.

Hypothèse AF = 5cm, AT =7 cm FT:9cm.

Conclusion Construire le

ffiangle FAT

- On trace

un

segment

lrrl

de longueur 9cm

- On trace deux arcs de cercle de centre

respectifs

F et T, de

rayons

5 cm et 7

cm.

Ces deux arcs se coupent en A.

- Le

triangle FAT

ainsi obtenu est le triangle demandé.

b.

Connaissant

deux côtés et I'angle

compris

entre ces

deux

côtés Exemple : Construction

d'un

triangle HOT

tel

que

HT =5cm, OH -6cm

et

, È:55".

132

(4)

Géométrie C2

Hypothèse HT =5cm, OH = 6cm 91

n :

SS"

Conclusion Construire le

triangle HOT

Solution :

- On construit un angle

rcTy:

55"

-

on

porte sur

tFx)

un segment

Ho

=

6cm

et sur

tFry)

un segment

HT -5cm.

- Le triangle

HOT

ainsi obtenu est la solution cherchée.

c.

connaissant

un côté et les

deux

angles

adjacents

à ce côté

Exemple : construction

d'un

triangle

\ryIN tel

que

IN =7 cm, î -36

et

N - 60'.

Hypothèse

Conclusion Construire le

triangle

WTN

Solution :

-

on

construit un sJgment

[nr]

de longueur

rcm

puis,

l'angle Nîx -36".

Enfin du mêrne côté de

IN

que

i'angle ,ÎN ,on

constnrit l'angle Ifry

-

6s"

- Si rui;

+

Ifry

est inferieur

à

180" , les demi-droites

[Ix)

er

[Ny)

se coupent en un point W.

- Le triangle

FAT

ainsi obtenu est le triangle demandé.

IN =7 cm, Î -36

et

N:60"

t33

(5)

Exercices

l.

Peut-on

construire

le triangle dans chacun des cas suivants ?

Ne pas faire

le

dessin mais

justifier

la réponse.

a. de côtés 5

;6 et

10.

c. de côtés 5 :

6 et

12.

b. decôtés5;6et1l.

d. decôtés7:.7 et7.

2.

3.

Le triangle

ABC tel que AB:4cm et

AC

=6cm peut-il avoir

: a. BC

=lIcm? b.

BC

-pcm? c. BC:lcm

?

Justifier la réponse.

Construire un triangle ABC

tel

que :

a. AB:6cm; AC=4cm; BC:8cm.

.b. AB=5cm; À-60; Ê -45".

, e.

AB

-5cm: BC =8cm; Ê:35"

. d. AC=7cm; À=Ô=80".

Construire un triangle CAT isocèle elA connaissant :

a.

CT

-3cm; AC =5cm. b. AC:5cm:. A-40"

a.

Si deux côtes d'un triangle sont respectivement égaux à

l5

et 20, alors le

-

troisième côté est compris entre

...

et ...

- b.

Calculer

x, la

longueur du troisième côté

d'un

triangle tel que ses deux côtés mesurent 5 et7.

c.

Calculer

x tel

que les trois côtés d'un triangle sont re3pectivement

x; x+3 et r+5:

Soit un quadrilatère ABCQ de diagonale AC.

Montrer que AB + BC + CD +

DA

>

zAC

Sur la

figure

ci-dessous, P est un point à

I'intérieur

du triangle

XYZ.

.

Montrer

que 2(PX

+ PY +

PZ)

> XY +

XZ

+ YZ

4.

5.

6.

7.

t34

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