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Deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés sont deux à deux de la même longueur

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Seconde 1 Chapitre 15 : les triangles isométriques et les triangles semblables. Page n ° 1 2007 2008

E1 Activité pour découvrir les triangles isométriques.

Définition :

deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

1. Pourquoi la connaissance de deux angles d’un triangle permet-elle de connaître le troisième ? 2. Construire un triangle ABC tel que l’angle ABC mesure 30 ° et ÆÆ BCA mesure 70 °.

3. Mesurer AB et BC et CA.

4. Comparer le résultat avec celui des autres élèves de la classe.

5. Les triangles tracés sont-ils isométriques ? 1 Triangles isométriques.

Définition

Isométrique vient du grec isos qui signifie égal et metron qui signifie mesure.

Deux triangles sont isométriques si et seulement si leurs côtés sont deux à deux de la même longueur.

Théorème 1 :

Si deux triangles sont isométriques, alors leurs angles sont égaux deux à deux.

La réciproque n’est pas vraie : voir feuille annexe.

E2 Triangles dont on connaît deux côtés et un angle.

1. Tracer le triangle ABC tel que AB = 3 cm ; BC = 4,5 cm et ABC = 60 °.Æ 2. Mesurer AC et comparer le résultat avec celui des autres élèves de la classe.

3. Tracer le triangle DEF tel que DE = 4,5 cm ; DEF = 40 ° et FD = 3,5 cm.Æ

4. Mesurer EF et comparer le résultat avec celui des autres élèves de la classe. Que peut-on conclure ? 2 Triangles ayant un angle égal compris entre deux cotés égaux deux à deux.

Théorème 2

ABC et A’B’C’ sont deux triangles A’B’ = AB

A’C’ = AC

a=

' a

D'après le théorème : si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.

Donc les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques.

(2)

Seconde 1 Chapitre 15 : les triangles isométriques et les triangles semblables. Page n ° 2 2007 2008

E3 Savoir démontrer que deux triangles sont isométriques.

P 215 n ° 58.

E4 Triangles dont on connaît deux angles et un côté.

1. Tracer le triangle ABC tel que BC = 6,5 cm et ABC = 50 ° et ÆÆ ACB = 45 °.

2. Construire un triangle A’B’C’ tel que B’C’ = BC et A’B’C’ = Æ ABC et Æ A’C’B’ = Æ ACB.Æ 3. Les triangles ABC et A’B’C’ sont-ils isométriques ?

4. Construire un triangle EFG tel que EG = BC ; EFG = 50 ° et Æ FGE = 45 °.Æ 5. Les triangles ABC et EFG sont-ils isométriques ?

3 Triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux.

Théorème 3

ABC et A’B’C’ sont deux triangles A’B’ = AB

a=

' a

b= b'

D'après le théorème :

si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles égaux deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.

Donc les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques.

E5 Savoir utiliser les triangles isométriques.

P 207 n ° 10.

E6 Activité pour découvrir les triangles semblables.

P 191 triangles semblables.

4 Triangles semblables

Définition :

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux.

On dit que ces triangles ont la même forme.

Remarque :

Deux triangles isométriques sont deux triangles semblables.

Mais deux triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques.

(3)

Seconde 1 Chapitre 15 : les triangles isométriques et les triangles semblables. Page n ° 3 2007 2008

Théorème 4 :

Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, alors, ils sont semblables.

Démonstration : voir feuille annexe.

Théorème 5

ABC et A’B’C’ sont deux triangles semblables tels que

a=

' a et

b=

' b et

c=

' c

D'après le théorème :

si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels.

Alors, on a

CA ' A ' C BC

' C ' B AB

' B '

A = =

E7 Savoir démontrer que deux triangles sont semblables.

P 216 n ° 62

E8 Triangles ayant des côtés respectivement proportionnels.

1. Construire ABC un triangle tel que AB = 5 cm ; BC = 6 cm et CA = 7 cm.

2. Construire un triangle DEF tel que DE = 2,5 cm ; EF = 3 cm et FD = 3,5 cm.

3. Mesurer les angles des triangles ABC et DEF.

4. Comparer avec les autres élèves de la classe.

5. Que concluez-vous ?

5 Triangles ayant des côtés respectivement proportionnels.

Théorème 6

ABC et A’B’C’ sont deux triangles tels que

CA ' A ' C BC

' C ' B AB

' B '

A = =

D'après le théorème :

si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels, alors ces triangles sont semblables.

Donc ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables.

E9 Triangles ayant un angle égal et deux côtés proportionnels.

1. Construire ABC un triangle tel que AB = 7 cm ; AC = 8 cm et BAC = 50 °.Æ 2. Construire DEF un triangle tel que DE = 3,5 cm ; DF = 4 cm et FDE = 50 °.Æ 3. Construire GHI un triangle tel que GH = 3,5 cm ; GI = 4 cm et ÆGIH = 50 °.

4. Les triangles ABC et DEF sont-ils semblables ? 5. Les triangles ABC et GHI sont-ils semblables ?

6. Ecrire une condition pour que deux triangles soient semblables.

(4)

Seconde 1 Chapitre 15 : les triangles isométriques et les triangles semblables. Page n ° 4 2007 2008

6 Triangles ayant un angle égal et deux côtés proportionnels.

Théorème 7

ABC et A’B’C’ sont deux triangles

a=

' a

AC ' C ' A AB

' B '

A =

D'après le théorème :

si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels, alors ils sont semblables.

Donc ABC et A'B'C' sont deux triangles semblables.

E10 Triangles et aires.

1. Construire le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm ; BC = 5 cm et CA = 4 cm.

2. Construire le triangle DEF rectangle en D tel que DE = 6 cm ; EF = 10 cm et FD = 8 cm.

3. Calculer les aires des triangles ABC et DEF.

4. Que concluez-vous ? 7 Triangles semblables et aires.

ABC et A’B’C’ sont deux triangles semblables,

k est le rapport de proportionnalité qui transforme ABC en A’B’C’, cad k =

CA ' A ' C BC

' C ' B AB

' B '

A = =

alors aire ( A’B’C’ ) = k² aire ( ABC )

E11 Savoir travailler avec les triangles semblables.

P 207 n ° 11

Savoir son cours….

1 Donner la définition de deux triangles isométriques.

2 Donner un théorème permettant de démontrer que deux triangles sont isométriques.

3 Donner la définition de deux triangles semblables.

4 Donner un théorème permettant de démontrer que deux triangles sont semblables.

5 Citer le théorème qui compare les aires de deux triangles semblables.

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