Comme P est milieu de BB', la droite PS coupe le segment BC en son milieu

D1990. Un zeste de calcul

Soit un triangle ABC dont les côtés BC,CA et AB ont pour longueurs a,b,c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R. Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a,b,c.

Soient B' et C' les symétriques de B et C par rapport à (L). Le point S symétrique de R s'obtient comme intersection des symétriques de PR et QR. Donc PS et QS sont parallèles à AC et AB.

Comme P est milieu de BB', la droite PS coupe le segment BC en son milieu. De même comme Q est milieu de CC', la droite QS coupe BC en son milieu. Les droites PS et QS se coupent donc en S qui est le milieu de BC.

BPS est image de BB'C par homothétie (B,1/2).

Et CQS est image de CC'B par homothétie (C,1/2).

Les longueurs de la médiane AS est des côtés du triangle sont liées par la relation classique AB²+AC² = 2.AS² + BC²/2 . Donc AS² = (b²+c²)/2 -a²/4.

AS = √[(b²+c²)/2 – a²/4]