D1843. Un bel alignement ***
Soit un triangle scalèneABC. Le cercle de centreC et de rayonC Acoupe la droite (AB) en un deuxième pointDet le cercle de centreBet de rayonB Acoupe la droite (AC) en un deuxième pointE.
On trace le pointP symétrique deApar rapport au côtéBCpuis le cercle (Γ) circonscrit au triangleADE.
La droite (P D) coupe le cercle (Γ) en un deuxième pointFtandis que la droite (PE) coupe ce même cercle en un deuxième pointG.
Les droites (B F) et (CG) se rencontrent enH, les droites (DE) et (F G) se rencontrent enI et les droites (AG) et (E H) se rencontrent enJ.
Q1 Démontrer que le pointHest sur le cercle (Γ).
Q2 Démontrer que les trois pointsB,IetJ sont alignés.
Solution de Claude Felloneau
Q1 Happartient au cercle (Γ).
On démontrera successivement que :
— (AP) est la bissectrice de l’angleDPE
— Les droites (E F) et (BC) sont parallèles.
— Les angles de droites (B F,CG) et (AB,AC) sont égaux.
On pourra donc conclure que (H F,HG)=(B F,CG)=(AB,AC)=(AF,AG) doncHappartient au cercle (Γ) passant par parA,FetG.
A
B C
D
E
P F
G H I
J
B0 C0
Démonstration :
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— (AP) est la bissectrice de l’angleDPE
SoientB0etC0les point d’intersection respectifs de la droite parallèle à (BC) passant parPavec les droites (AB) et (AC).
CommeP est le symétrique deApar rapport à (BC),BetCsont les milieux respectifs des seg- ments [AB0] et [AC0]. AinsiB0est diamétralement opposé à Asur le cercle de centreBpassant parAetEdonc la droite (B0E) est un hauteur de triangleAB0C0.
De façon analogue, la droite (C0D) est une autre hauteur de ce triangle et la troisième hauteur est la droite (AP).
Or les hauteurs d’un triangle sont les bissectrices de son triangle orthique donc (AP) est la bis- sectrice de l’angleDPE.
— Les droites (E F) et (BC) sont parallèles.
L’orthocentreKdu triangleAB0C0est tel que les pointsA,D,E,Ksont cocycliques sur le cercle de diamètre [AK] donc le centre du cercle (Γ) appartient à la droite (AK) qui est la droite (AP).
La symétrie orthogonaleσd’axe (AP) transforme la droite (PE) en (P D) et laisse invariant le cercle (Γ) doncσ(E) appartient à (Γ)∩(P D)={F,D}.
Comme le triangle ABC est scalène etE ∈(AC),σ(E) n’appartient pas à la droite (AB) donc σ(E)6=Dd’oùσ(E)=F. Ainsi la droite (E F) est orthogonale à (AP) donc parallèle à (BC).
— Les angles de droites (B F,CG) et (AB,AC) sont égaux.
On a (AF,AG)=(AF,AB)+(AB,AC)+(AC,AG) et (AF,AB)=(AF,AD)= −(AC,AG) par symétrie par rapport à (AP) donc (AF,AG)=(AB,AC).
De même, (G A,GF)=(E A,E F) carA,E,F,Gsont cocycliques et (E A,E F)=(C A,C B) car (E F) est parallèle à (BC) donc (G A,GF)=(C A,C B).
Il existe donc une similitude directesde centreAqui transformeBenFetC enG. La simili- tude directes0qui transformeBenC etF enGa le même centreAdonc les angles (B F,CG) et (AB,AC) sont égaux.
Q2 Les trois pointsB,IetJsont alignés.
C’est une conséquence du théorème de Pascal appliqué l’hexagoneD AGF H Einscrit dans le cercle (G amma).
Les 3 couples de côtés opposés se coupent en 3 pointsB,I,Jqui sont alignés.
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