Soit E un point de la droite AB, et F

D 1957 TOUJOURS SOUS LE MEME ANGLE

On trace un point D sur le côté BC d’un triangle ABC. Les médiatrices de BD et DC rencontrent les droites AB et AC respectivement en E et F. Démontrer que lorsque D se déplace entre B et C, le segment EF est toujours vu sous le même angle à partir du centre O du cercle circonscrit à ABC.

Soient B' et C' les milieux de AB et AC. Soit S la similitude directe de centre O, de rapport OC'/OB' et d'angle B'OC'. L'image de la droite AB par S est la droite AC.

Soit E un point de la droite AB, et F' = S(E).

EF' est vu de O sous un angle constant égal à 180° – Â.

Il reste à prouver que les deux points F et F' de la droite AC sont confondus.

Dans un repère d'origine O où l'axe des abscisses a la direction de BC, il suffit de prouver que abscisse(F') – abscisse(E) = abscisse(C') – abscisse(B') .

Soient b,c,β,γ, y tels que B'[b.cosβ, b.sinβ], C'[c.cosγ , c.sinγ], avec b.sinβ = c.sinγ = y, soit x l'angle B'OE,

abscisse(C') – abscisse(B') = c.cosγ – b.cosβ = y( cotan γ – cotan β ) abscisse (E) = [b/(cos x)] .cos( β+x) abscisse (F') = [c/(cos x)] .cos( γ+x) abscisse(F') – abscisse(E) = (y/ cos x).[cos( γ+x)/sinγ – cos( β+x)/sinβ]

abscisse(F') – abscisse(E) = y.[(cos γ – sin γ tan x )/ sin γ – (cos β – sin β tan x )/ sin β ] abscisse(F') – abscisse(E) = y( cotan γ – cotan β ) = abscisse(C') – abscisse(B') .

Le point F' est le même que le point F. Le triangle EOF est directement semblable au triangle B'OC' Les trois angles du triangle EOF sont constants.

En particulier angle EOF = 180° – Â.

Les quadrilatères AB'OC' et AEOF sont inscriptibles.