Enoncé D1957 (Diophante) Toujours sous le même angle
On trace un point Dsur le côté BC d’un triangleABC. Les mé- diatrices deBD etDC rencontrent les droitesAB etAC respec- tivement enE etF. Démontrer que lorsqueDse déplace entreB etC, le segmentEF est toujours vu sous le même angle à partir du centreO du cercle circonscrit à ABC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Quand Dest la projection de A sur BC,E etF sont les milieux des segments AB et AC; l’homothétie de pôle A et de rapport 1/2 transforme le cercle circonscrit au triangle ABC en un cercle passant par A, E, F, O. Le segment EF est vu du point O sous l’angle π−A.
Je vais montrer queA, E, F, O sont constamment cocycliques.
SoitRle rayon du cercle circonscrit au triangleABC. La définition de E etF entraîne, en projection sur BC
(*)AEcosB+AFcosC =BC/2 =RsinA.
SoitM le point courant du cercle circonscrit au triangleAEF. On a la relation
AM = dcos((AB, AM)−t), d étant le diamètre du cercle et t donnant la direction du centre.
AE =dcost,AF =dcos(A−t). Par la relation (*) (2R/d) sinA= 2 cosBcost+ 2 cosCcos(A−t) =
= cos(B−t) + cos(B+t) + cos(C+A−t) + cos(C−A+t) et, les termes centraux s’annulant (angles de sommeA+B+C=π)
= 2 cosB+C−A
2 cosB+A−C−2t
2 = 2 sinAcos(π/2−C−t).
Comme (AB, AO) =π/2−C, on voit que
R =AO= dcos((AB, AO)−t), ce qui montre que O appartient au cercle, CQFD.
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