Enoncé D1806 (Diophante) Un point courant sur un cercle Dans un triangle

Enoncé D1806 (Diophante) Un point courant sur un cercle

Dans un triangleABC acutangle le pointO est le centre du cercle circons- crit (Γ) et le point Dest diamétralement opposé au point Asur (Γ).

Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD.

Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E etF. Les droitesBI etCJ se coupent au point K.

Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :

Q₁ Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.

Q₂ Déterminer le lieu du point K.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

La droiteOAest bissectrice de l’angleIOJ; sidest la médiatrice deAD, le faisceau (OI, OJ, OA, d) est harmonique ; il coupe la droiteEF selon la division harmonique (E, F, M, G) oùM est surOAetGsurd. Le faisceau (AE, AF, AM, AG) = (AB, AC, AD, AG) est harmonique avec 3 droites fixes AB, AC, AD; il en est de même de la quatrième AG, donc de son intersection Gavec d.

Question 2

Par l’égalité des angles (BA, BI) = (CJ, CA), les droitesBI etCJ sont en correspondance homographique. Leur intersectionK décrit une conique.

Cette conique passe parAetD, où il arrive queI etJ se confondent ; elle passe parB (resp.C) quandI (resp. J) est le symétrique deB (resp. C) par rapport àAD.

Ses points à l’infini correspondent àBI etCJ parallèles : kπ= (CJ, BI) = (CJ, CA) + (CA, BA) + (BA, BI) =

= 2(BA, BI)−(AB, AC),

d’où (BA, BI) = (AB, AC)/2 +kπ/2. C’est la direction des bissectrices de l’angleA du triangle.

La conique lieu de K est l’hyperbole équilatère circonscrite aux quatre pointsA, B, C, D.