Enoncé D1806 (Diophante) Un point courant sur un cercle
Dans un triangleABC acutangle le pointO est le centre du cercle circons- crit (Γ) et le point Dest diamétralement opposé au point Asur (Γ).
Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD.
Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E etF. Les droitesBI etCJ se coupent au point K.
Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :
Q1 Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.
Q2 Déterminer le lieu du point K.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
La droiteOAest bissectrice de l’angleIOJ; sidest la médiatrice deAD, le faisceau (OI, OJ, OA, d) est harmonique ; il coupe la droiteEF selon la division harmonique (E, F, M, G) oùM est surOAetGsurd. Le faisceau (AE, AF, AM, AG) = (AB, AC, AD, AG) est harmonique avec 3 droites fixes AB, AC, AD; il en est de même de la quatrième AG, donc de son intersection Gavec d.
Question 2
Par l’égalité des angles (BA, BI) = (CJ, CA), les droitesBI etCJ sont en correspondance homographique. Leur intersectionK décrit une conique.
Cette conique passe parAetD, où il arrive queI etJ se confondent ; elle passe parB (resp.C) quandI (resp. J) est le symétrique deB (resp. C) par rapport àAD.
Ses points à l’infini correspondent àBI etCJ parallèles : kπ= (CJ, BI) = (CJ, CA) + (CA, BA) + (BA, BI) =
= 2(BA, BI)−(AB, AC),
d’où (BA, BI) = (AB, AC)/2 +kπ/2. C’est la direction des bissectrices de l’angleA du triangle.
La conique lieu de K est l’hyperbole équilatère circonscrite aux quatre pointsA, B, C, D.
