D1869 Deux lieux pour un point courant
Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courantM sur la droite[BC]distinct du pied de la hauteur issue deA. SoitO1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire enAau segment AM coupe la droite [BC] au point N. La droite [M O1] coupe le cercle de diamètre M N et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P. Déterminer les lieux des points P etO3 quand M parcourt la droite [BC].
Solution proposée par Michel ROME (juillet 2020)
Soit N0 l’intersection deM P etAN. À cause de l’angle droit M AN ,N0 est sur le cercle de centre O1, diamétralement opposé à M et BN0 est perpendiculaire à (BC).
Sur le cercle (O1),N0AB=P M N. et sur le cercle O2, P M N =P AN0. AN apparait comme bissectrice de P AB. Soit P0 l’intersection de la droite AB avec le cercle (O2). Les arcs de (O2), P N et N P0 sont égaux ce qui fait queP etP0 sont symétriques par rapport à(BC). Introduisons A0 symétrique deA par rapport à(BC). Les droites(BA) et(BA0)sont symétriques. Conclusions :P, B, A0 sont alignés et cette droite ne dépend pas de M.
Le lieu de P est sous-ensemble de la droite (A0B).
Comme angles on a : P O2B =P O2N = 2P M N =P AB
Ainsi les points A, B, P, O2 sont sur un mème cercle. O3. Le centre de ce cercle est donc sur la médiatrice de AB qui ne dépend pas de M.
Le lieu de O3 est sous-ensemble de la médiatrice deAB. Réciproques :
PrenonsP sur la droiteA0B. Le cercleAP B coupe(BC)enO2, le cercle de centre O2 et passant par A coupe (BC) en M et N. Il suffit de voir que P correspond à M.
Prenons O3 sur la médiatrice de AB. Le cercle de centre O3 passant par A et donc par B coupe (BA0)en P; nous revenons au cas précédent.
Remarque : Le point N0 est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABP, M et N sont centres de cercles exinscrits. Le dessin est bien co- hérent.
B
A
(BC) N M
N0
O1
O2
P
A0 O3
P0
