D1806. Un point courant sur un cercle Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC acutangle le point O désigne le centre du cercle circonscrit (Γ) et le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ).
Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD. Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E et F.
Les droites BI et CJ se coupent au point K.
Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :
Q1 Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.
Q2 Déterminer le lieu du point K.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Sean una cónica circunscrita a ; el diámetro que pasa por y el correspondiente diámetro conjugado.
Para cada definimos como la proyección de sobre la cónica según la dirección del diámetro .
La correspondencia entre las rectas y donde al punto se le asocia es claramente una proyectividad. Dado que los puntos y son intercambiables, también se corresponden
con
Cuando y en este caso coinciden y , por tanto, el punto común es homólogo de sí mismo.
Entonces las rectas son perspectivas, siendo el centro de la perspectividad el punto de intersección de los pares de puntos homólogos: las rectas concurren en un punto, como queríamos demostrar.
Si se toman y como y , la recta que definen es , así pues, ha de estar situado sobre el diámetro conjugado .
Sean los haces de rectas de vértices y respectivamente. Dar un punto sobre es equivalente a tomar una recta del haz . Dada pues , tomo como se ha dicho antes, proyectando sobre según la dirección del diámetro conjugado .
A le asocio la recta del haz .
Con esto tenemos una proyectividad u homografía entre las rectas de los haces y . El punto es la intersección de un par de homólogos en esta correspondencia, por tanto, el lugar geométrico de es una cónica
que pasa por los vértices y de los haces que la definen.
Veamos otros puntos de esta cónica:
Si , tenemos y la homóloga correspondiente es , por tanto es otro punto del lugar: la cónica también pasa por . Igualmente también es un punto de la cónica descrita por .
Si a partir de construimos un paralelogramo, el vértice , opuesto a es otro punto de esta cónica. Llamando a las intersecciones de y con , el teorema de Pascal aplicado al hexágono demuestra que es paralelo a la tangente en , así como también son paralelos los segmentos y ; y . Por tanto es un punto de la cónica descrita, y el punto medio de (o de ) es el centro de la misma. Además y son direcciones de dos diámetros conjugados para la cónica .
En el caso particular en que es la circunferencia circunscrita, apenas cambia nada: los diámetros conjugados son ahora perpendiculares y el ortocentro del triángulo es otro punto de la cónica . Se basa en una propiedad de sencilla comprobación: En cualquier triángulo la proyección de dos vértices sobre la circunferencia circunscrita, a través del ortocentro define un segmento perpendicular al diámetro que pasa por el tercer vértice.
Basta ver con atención la segunda figura. Además se puede demostrar, aunque no es necesario, que el cuadrilátero es un paralelogramo y con ello tendríamos de nuevo que el centro de es el punto medio de .
Es sabido que las cónicas que pasan por los tres vértices de un triángulo y su ortocentro son hipérbolas equiláteras y su centro es un punto de la circunferencia de los nueve puntos o de Euler (el punto medio de un lado en este caso).
La última figura muestra esta situación.
