D159. A chacun son tour
Un point à l’intérieur d’un triangle se projette en , et sur les droites , et . Déterminer la position de dans les quatre cas suivants:
1- le produit . . est maximal, 2- la somme est minimale, 3- la somme BD2 + CE2 + AF2 est minimale,
4- la somme / / / est minimale.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
1.- Sean , , son las longitudes de los lados del triángulo, , y , (coor- denadas trilineales del punto ).
Poniendo 2 , se tiene . La función que tenemos que maximi-
zar es , , sometida a la ligadura .
El conjunto definido por las desigualdades
0 ; 0 ; 0 ! (donde
, , ! son las alturas del triángulo) es un conjunto compacto de "#, y por tanto esa función continua alcanza en él un máxi-
mo y un mínimo absolutos. Si ese ex- tremo se alcanza en algún punto de la
frontera, esto es, sobre los lados del triángulo, el valor de es cero, es un mínimo, por ello el máximo se ha de alcanzar en el interior: es
un máximo relativo.
Usaremos el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar ese máximo.
Si , , es ese extremo, entonces es un punto crítico de la función auxiliar
, , $ % $
Resolviendo el sistema
&
& $ % 0
&
& $ % 0
&
& $ % 0
encontramos
3 3 , 3 3 , 3 3!
que nos indica que el máximo buscado corresponde al baricentro ( del triángulo.
2.- Esta segunda parte tiene una demostración geométrica, sumamente elegante encontrada en Internet y debida al matemático húngaro L. Féjer, que es la siguiente:
De los triángulos inscritos que tienen un vértice fijo en el lado , el de menor perímetro es aquel cuyo lado opuesto pasa por los simétricos ) y "
de respecto a y , pues el perímetro de ese triángulo (+ es igual al segmento ) " y el de otro triángulo es la línea quebrada ) " mayor que ) " . Se trata entonces de encontrar el to en que hace mínima la longitud ) ".
El triángulo ) " es isósceles pues ) y " son los simétricos de la ceviana respecto a y . Además el ángulo ) " es el doble del y por tanto cons- tante cuando se mueve sobre . Entonces al mover- se sobre , los triángulos ) " que resultan son semejantes y el lado ) " será el mínimo cuando ), es decir , sea mínimo, y eso sucede cuando es per- pendicular a , es decir cuando es el pie de la altura desde .
Como el triángulo inscrito que resulta es el de perímetro mínimo de todos los que es posible inscribir en Δ , los otros vértices de ese triángulo inscrito mínimo serán los pies de las otras alturas, pues el argumento anterior se aplica igual a los otros lados.
En resumen, la suma será mínima cuan- do el punto sea el ortocentro + del triángulo y entonces el triángulo es el triángulo órtico de Δ .
3.- Observando la primera figura del problema encontramos las siguientes relaciones:
Del cuadrilátero cíclico podemos obtener la expresión -. .$ . $ / . 1 y del cuadrilátero obtenemos
1. .$ . $ - . 2 y, por último, en el
/. .$ . $ 1 . 3 Haciendo 1 2 3 se obtiene
-. 1. /. $ - . $ 1 . $ / .
Desarrollando esta última igualdad se llega a
- 1 / . 2. . 4
Tenemos que encontrar el mínimo de la función -, 1, / -. 1. /., sometida a la condición (4).
Ello es equivalente a encontrar el punto , , del plano de "# 3456.4574, que diste menos del origen. Ese punto se determina con la intersección de la recta perpendicu- lar a dicho plano desde 8 0,0,0 . Esa recta tiene ecuaciones paramétricas 9; 9;
9; y el punto de intersección corresponde a 9 :. y es ; <3.,6.,.7=.
Volviendo al problema eso significa que los puntos , y son los puntos medios de los lados respectivos y, por tanto, es el circuncentro del triángulo .
4.- Utilizando la notación empleada en 1, tenemos que determinar para que resulte mínima la expresión 3
>
6
? 7
@, con la condición .
Buscaremos los puntos críticos de la función , , 3> ?6 7@ % $ . Resolviendo el sistema formado por sus derivadas parciales obtenemos :
√B, que junto con la ligadura nos da 35657
√B C con ( radio de la circunferencia
inscrita), luego :
√B . El punto que así se define no es otro que el incentro del triángulo. Para ver que ese punto es el mínimo que buscamos, calcularemos la matriz de la diferencial segunda de la función , , 3> 6? 7@, pero teniendo en cuenta que es una función de e , concretamente LM3>M6?7 .
Tenemos pues:
NO
N> <@:4$>:4=; NO
N? <@:4$?:4= ; N>?NO .367@P ; N>NO4 2 <7@3P >:P= y N?NO4 2 <7@6P ?:P=
En el incentro, la matriz de esta diferencial segunda es:
R. S T
2 # 2
#
2 # 2
#
U
El polinomio característico o ecuación secular de la diferencial es:
V 9 9.$2W X
# 9 4
Y 0
Como .W3 357 56 657 X
7ZP y [36 356577Z\ son positivos, existe un mínimo en el punto estudiado. ]
