D167. Une paire de cercles inscrits
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. La bissectrice AI co- upe les droites DE et DF aux points P et Q. Soit H le pied de la hauteur issue de A sur BC. Démontrer que D est le centre du cer- cle inscrit du triangle HPQ.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Sean y los ángulos del triángulo y . Los ángulos que
concurren en el vértice miden y
Sus suplementarios, los ángulos y miden por tanto y respectivamente.
En el triángulo se tiene , por tanto, .
Junto con implican .
Las rectas , y son paralelas.
El cuadrilátero es inscriptible o cíclico, pues suple-
mentario de . Por ello y por tanto
De forma análoga también es cíclico el cuadrilátero , pues .
De ahí que y
De esta última propiedad también deducimos que los puntos y son concíclicos y
, como tenemos resulta y es la
bisectriz interior del ángulo .
Los triángulos y son semejantes
Los triángulos y son semejantes, por tanto , y , de
donde .
En el triángulo se tiene que demuestra la semejanza.
es el incentro de .
ya que, por la semejanza demostrada antes, Esto significa que es la bisectriz interior del ángulo y por tanto,
es el incentro de .
Nota.- La demostración del paralelismo de las rectas , y es un caso particular de una situación mucho más general. Si llamamos al polo de respecto de la circunferencia inscrita, tenemos que está en el infinito, por ser un diámetro de esta cónica. Las polares de , -la recta -, de y de también pasan por . Por la elección de sobre y sobre , sus polares han de pasar por y respectivamente.
Por otra parte, para cada punto de existe un único triángulo autopolar para la circunferencia inscrita cuyos vértices yacen en los lados de : el triángulo diagonal del cuadrilátero con
Por todo ello, el triángulo es autopolar, con en el infinito. Esa es la demostración proyectiva de esta propie- dad.
Una imagen en una situación más general ilustrará lo que decimos ( ya no es el incentro de ):
