D145. Une rencontre du côté de chez Euler
Soit un triangle ABC ayant pour cercle circonscrit et pour cercle d’Euler . Du sommet C, on mène les tangentes au cercle , qui touchent en X et Y.
Démontrer que les droites AB, XY et la tangente en C au cercle son concurantes en un point Z.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Tomamos el origen de coordenadas en el circuncentro de de radio 1 y ecuación y el eje de abscisas paralelo al lado del triángulo. Para los vértices del triángulo tenemos y La relación entre los puntos de la recta de Euler, a saber, , nos permite poner para el centro de la circunferencia de Euler las coordenadas
.
La recta es la polar de respecto de , esto es
Después de simplificar adecuadamente tenemos
La ecuación de la tangente en a es y la ecuación de la recta es .
La intersección de estas dos rectas es el punto , que verifica la ecuación de la polar, como se puede comprobar fácilmente.
