D1806. Un point courant sur un cercle Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC acutangle le point O est le centre du cercle circonscrit (Γ) et le point D est diamétralement opposé au point A sur (Γ).
Soient I un point courant de (Γ) et J son symétrique par rapport à AD. Les droites OI et OJ coupent respectivement les droites AB et AC aux points E et F. Les droites BI et CJ se coupent au point K.
Lorsque I parcourt le cercle (Γ) :
Q1 Démontrer que la droite EF passe par un point fixe G.
Q2 Déterminer le lieu du point K.
Q1) Soit Z et G les points où la droite EF coupe le segment AD et sa médiatrice. Les droites OA et OG sont les bissectrices de l'angle EOF donc (G, Z, E, F) est une division harmonique.
Soient U et V les points où les droites AB et AC coupent la droite fixe OG.
Le faisceau de droites (AG, AZ, AE, AF) est harmonique, donc (G, O, U, V) est une division harmonique. Lorsque I parcourt le cercle (Γ) les points O, U, V sont fixes donc le quatrième point G est fixe.
Q2) Les droites BI et CJ sont en homographie, leur intersection K décrit une conique qui passe par B et C. Quand I et J sont simultanément en A ou D, ils se confondent avec K. La conique passe par A,B,C,D. Il y a 2 cordes I1J1 et I2J2 telles qu'on ait l'égalité des arcs orientés BI1=J1C et BJ2=CI2. I1 et I2 sont diamétralement opposés. Le point K part à l'infini dans deux directions perpendiculaires.
Le lieu de K est une hyperbole équilatère centrée au milieu de BC, et passant par A,B,C,D.
