Problème proposé par Dominique Roux
Soient un triangle ABC et un cercle Γ de centre Ω distinct du cercle circonscrit à ABC.On trace les polaires de chaque sommet A,B et C par rapport au cercle Γ qui coupent respectivement (BC),(CA) et (AB) en U,V et W.
Q₁ Démontrer que les points U,V et W sont alignés.
Q₂ Démontrer que les trois perpendiculaires en Ω à ΩA,ΩB et ΩC coupent respectivement (BC), (CA) et (AB) en trois points alignés
Q1 : C’est le problème dual de celui du «1er mouvement». En utilisant les
coordonnées tangentielles au lieu des coordonnées ponctuelles, on montre que les trois points U, V, W sont alignés par les mêmes calculs permettant de montrer que AP, BQ et CR sont concourants.
Q2 : Si P est l’intersection de la perpendiculaire à ΩA avec BC, avec a=BC et u le rapport des longueurs u=PB/PC ; nous avons l’égalité vectorielle
ΩP=uΩB/(1+u)+ΩC/(1+u), et comme le produit scalaire ΩA.ΩP=0,
PB/PC=u=-ΩA.ΩC/ΩA.ΩB. De même, si Q est l’intersection de la perpendiculaire en Ω à ΩB et de CA, et R l’intersection de la perpendiculaire en Ω à ΩC et de AB, QC/QA=-ΩB.ΩA/ΩB.ΩC et RA/RB=-ΩC.ΩA/ΩC.ΩB, donc
(PB/PC)(QC/QA)(RA/RB)=-1 : les points P, Q, R sont alignés.
