• Aucun résultat trouvé

D1824. K,L,M en bonne compagnie ** Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "D1824. K,L,M en bonne compagnie ** Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle"

Copied!
2
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

D1824. K,L,M en bonne compagnie **

Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté BC au point A1 et l'arc BC qui ne contient pas A au point M. La droite perpendiculaire au côté AC passant par A1 coupe l'arc AC qui ne contient pas B au point K.

La perpendiculaire à BK passant par A coupe le côté BC au point L.

Démontrer que les points K,L et M sont alignés.

Proposition de solution (Olivier et Thérèse Eveilleau)

Les angles et ont leurs côtés deux à deux perpendiculaires et sont donc égaux.

= (***)

Soit (C2) le cercle circonscrit aux 4 points A, P, Q et K.

Soit (C1) le cercle circonscrit aux 3 points A, B et C.

Dans (C1) la puissance du point I donne : IA*IC=IB*IK Dans (C2) la puissance du point I donne : IP*IK=IA*IQ

En multipliant membre à membre ces deux équations, on obtient : IC*IP =IB*IQ donc IP/IB =IQ/IC

On en déduit avec la réciproque du théorème de Thalès que (PQ)//(BC).

(2)

Avec (PQ)//(A1L), le théorème de Thalès donne JQ/JA1 =JP/JL soit JQ*JL=JP* JA1 (*)

Dans le cercle (C2), nous avons la puissance de J : JP*JA =JQ*JK (**)

(*) et (**) donnent J en multipliant membre à membre et en simplifiant : JL*JA=JA1*JK Il s’ensuit : JL/JK =J A1/JA

On en déduit que les triangles LJK et AJA1 sont semblables car ils aussi un angle égal (angles opposés par le sommet en J).

Nous avons ainsi dans ces deux triangles semblables, l’égalité des angles en K : =

rappelons (***) : =

En ajoutant membre à membre ces deux dernières équations nous déduisons l’égalité : =

Comme (AA1) est bissectrice de l’angle , cette dernière relation donne aussi : = soit

=

Ces deux angles égaux inscrits dans le cercle (C1) interceptent donc le même arc (BM).

Cela signifie que les points K, L et M sont alignés.

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 2 Page - 338.08 KB )

Documents relatifs

D1829. Le ballet des inscrits Soit (Γ) le cercle circonscrit à un triangle ABC acutangle. Le point P est variable sur l'arc BC qui ne contient pas le point A On trace les centres I

et de centre C de rapport CKc/CIa, d'angle (CIa,CKc) opérant sur cet arc BC, le transforment en un arc de cercle qui va de B vers le milieu de IC, ( lieu de Kb). et un arc de

Pb₁ On donne un cercle (Γ) de centre O passant par un point I. Une droite (Δ) passant par un point A situé sur le rayon OI coupe le cercle (Γ) en deux points

Quand la droite PQ pivote autour du point A, les lieux respectifs de P et de Q sont les cercles de diamètre AB et AC.Il en résulte que la médiatrice de la corde DP passe par le point

La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J

1) La simediana

Q₁ Démontrer que le point H est sur le cercle circonscrit au triangle ABC

On trace le point P symétrique de A par rapport au côté BC puis le cercle (Γ) circonscrit au triangle ADE.. La droite [PD] coupe le cercle (Γ) en un deuxième point F tandis que

La droite [AD] bissectrice de l’angle en A coupe l’arc (BC) qui ne contient pas le point A en son milieu K

Avec P,Q,J confondus, ω est en ω₂.Enfin quand P parcourt la demi-droite IDz’, le point ω après avoir fait demi-tour parcourt à nouveau cette. demi-droite ω₂x’ en

La droite IJ coupe la droite AB en un point K

Un point P du cercle circonscrit à un triangle ABC se projette respectivement sur les droites BC et AC en deux points I et J. La droite IJ coupe la droite AB en un point K.

Comme H', K' est sur le cercle circonscrit

La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC en un point P.. Démontrer que les droites AP et

Démontrer que la bissectrice de l’angle BCD, la perpendiculaire à la droite BC passant par P et la perpendiculaire à la droite BD passant par A sont concourantes

On désigne par D,E,F les projections des sommets d’un triangle ABC sur une droite quelconque (L).Démontrer que les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant