Solution proposée par Gaston Parrour

D1824. K,L,M en bonne compagnie

Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissectrice de l'angle BAC coupe le côté BC au point A1 et l'arc BC qui ne contient pas A au point M. La droite perpendiculaire au côté AC passant par A1 coupe l'arc AC qui ne contient pas B au point K. La perpendiculaire à BK passant par A coupe le côté BC au point L. Démontrer que les points K,L et M sont alignés.

Solution proposée par Gaston Parrour

→ Les 4 points A A1 L et K sont cocycliques

ang BKA = ang BCA (inscrits dans le cercle (Γ) )

d'où ang LAK = PI/2 - ang BCA (triangle rectangle Ah2K) et aussi

ang CA1K = PI/2 – ang BCA (triangle rectangle A1h1C)

Le segment LK est vu sous le même angle depuis A1 et depuis A :

==> Les points A1 et A sont sur l'arc capable de LK → A, A1, L et K sont cocycliques Conséquence :

ang A1AL = ang A1KL

→ De plus ang LAC = ang BKA1 (angles à côtés perpendiculaires) Donc

→ ang A1AC = ang BKL (1)

Or ang A1AC = ang MAC = ang BCM = ang BKM [= (ang ABC) /2] (''='' car M milieu de l'arc BMC ) Ainsi avec (1) et ang A1AC = ang BKM

→ ang BKL = ang BKM → les droites (KL) et (KM) font le même angle avec (BK) ==> Les points K L et M sont alignés

A

B C

M

L

K

A1

(Γ) h2 h1